11. Графоаналитический метод решения стратегических игр. Эквивалентная s-игра
В любой игре будет платежная матрица А= ||аij||m*n. Если мы в пространстве, размерностью m*n разметим метки аij, то получим гиперсферу. Эта многомерная сфера назыв S-игрой. Оптимальное решение игр находится на гранях гиперсферы
Игра 2*n. В этой игре один из игроков имеет две стратегии, а второй – произвольное число стратегий. Выпуклый многоугольник – S-игра. С вершинами многоугольника связаны чистые стратегии. Если игра имеет решение в чистых стратегиях, то оптимально чистые стратегии будут находиться в одной из вершин, в той, где значение линейной формы будет максимально.. Если нет чистых стратегий – ищем смешанные. Если рассматривать S-оболочку, то можно заметить, что решения игры могут принадлежать не всей оболочке, а только ее определенной части (только левой нижней границе S-игры). Модель S-игры непосредственно для решения не применяется. Когда у 1,2 игроков только две стратегии, m*n можно привести к 2*2, 2* m или 2*n при наличии доминирования. Игра по принципу минимакса находится для одного из игроков. Находится смешанная стратегия, цена игры. А для второго игрока можно поступить как в ЛП: записать уравнение потерь, поставив в правую часть цену игры:
P1a1j+p2a2j =
P1a1k+p2a2k =
12. Теория статистических решений (игр)
Стратегическая игра – это модель конфликтной ситуации, все участники в этой игре действуют рационально. У игроков есть цель, кот они стремятся достигнуть. Но очень часто возникают ситуации, в кот присутствуют участники с нейтральной позицией. У них нет заранее опр цели, они ставят перед собой задачу: извлечение мах прибыли или обращение в свою пользу ошибки др стороны. Такими ситуациями занимается теория статистических игр.
В этой теории принято: нейтральный участник – природа (вся совокупность внешних обстоятельств). Под природой могут пониматься: природные условия (ураган, шторм), различные объекты (промышленное оборудование), различные процессы. Вторая сторона действует рационально – статистик. Природа не имеет плохого умысла против человека. Момент возникновения этого события, силу его проявления мы предсказать не можем.
«Природа» в теории игр рассматривается как некая незаинтересованная инстанция, поведение которой хотя и неизвестно, но, во всяком случае, не содержит элемента сознательного противодействия нашим планам. Рассмотрим подобную ситуацию.
Пусть
сторона А имеет 
возможных
стратегий
О
состоянии «природы» 
можно
сделать 
предположений
Для
каждой пары стратегий 
(
)
существует функция 
которая
является случайной величиной и
называется функцией
потерь.
Пусть
удаётся определить величину 
−
эффективность решения 
в
условиях 
для
всех комбинаций пар стратегий
.
В этом случае платёжная матрица игры
имеет вид:
В теории статистических игр, помимо платёжной матрицы, используется и, так называемая, матрица рисков или матрица сожалений.
Риском стороны А при
использовании стратегии
в
условиях 
называется
величина
где 
−
максимальный выигрыш стороны А в
состоянии «природы» 
Точно так же как и в стратегических играх, статистическую игру можно представить виде эквивалентной S-игры.
S – игра – выпуклая многогранная сфера(многогранник).
Вершина определяется двумя параметрами – стратегия природы и стратегия статистика.
Координаты вершин – это потери статистика, при соответствующей комбинации стратегий статистика и природы.
Решения игры - это множество точек лежащих в многограннике.
Вершины ассоциируются с чистыми стратегиями. Все остальные точки – смешанные стратегии статистика.
В силу того, что природа субъект иррациональный, универсальное правило создать не возможно.
Задача статистика – нахождение решения, которое минимизирует его потери.
В стат играх рассматр два подхода:
1) игры без эксперимента
2) игры с экспериментом
Игры без эксперимента – это игры, когда мы не имеем возможности или не желаем улучшить свои знания о состянии природы. В играх с экспер статистик путем проведения испытания может уточнить свои знания о состоянии природы. Даже если мы проводим эксперимент, то все равно остается какая-то неопределенность. В отличие от стратегических игр, статистик, хотя и действует рационально, не может рассчитывать на выигрыш в игре с природой.. В статистических играх статистик всегда несет потери. Задача статистика –нахождение решения, кот минимизирует потери.