9. Двойственные задачи лп .Решение игры путем сведения ее к задаче линейного программирования

Чтобы решать задачу линейного программирования, нам нужно дать формальную запись игры, как задачу линейного программирования, Речь идет о смешанных стратегиях, когда (1) с некоторой вероятностью.

Если игра разыгрывается многократно, и стратегии выбираются с некоторыми вероятностями, то мы можем говорить о среднем выигрыше 1го и среднем проигрыше 2го игрока.

Для 1 го игрока - элементы матрицы игры, - вероятность выбора iтой стратегии игрока, (1) – значение среднего выигрыша.

Для 2 го игрока

2й игрок в случае выборе оптимальной смешанной стратегии гарантирует себе проигрыш не больше чем цена игры (((((((1)))))))

В теории линейного программирования такие задачи называются двойственными задачами линейного программирования. В любом случае, либо решая задачу (3), либо (4), мы найдем параметры p_i и q_j. Чтобы найти нормальные значения нужно сделать переход: x_i=υp_i, и тогда получим искомое распределение вероятностей. (5) y_j=υq_j, . Определив x_iy_j найдем оптимальные смешанный стратегии каждого из игроков.

В данном случае задачу можно решать в 2х вариантах:

1.Решить задачу (3) для 1го игрока и (4) для второго. Но процедуру решения можно существенно упростить, вспомнив про теорему (если игроки используют оптимальные стратегии, то выигрыш одного будет не меньше цены игры, а проигрыш второго не больше цены игры)

2.Решить задачу линейного программирования для 1го игрока, Определяют оптимальные смешанные стратегии 1го игрока и определяют цену игры. А для 2го игрока его оптимальные смешанные стратегии определяются исходя из того, что если он использует оптимальные смешанные стратегии, то его проигрыш будет равен цене игры. И для 2го игрока задачу линейного программирования не решают.

Решение задач:

1) Делаем положит. числа – прибавляем число ко всем элементам матрицы. Если мы прибавляем число, то в конце его нужно вычесть.

2) Ищем седловую точку

3) Доминирование

4) Делим на цену игры

Решив задачу для 1 игрока, мы определяем цену игры и оптимальные смешанные стратегии 1 игрока. Следовательно, по основной теореме теории игр, второй игрок не сможет обеспечить себе проигрыш, меньший цены игры.

10. Методы решения игр

Линейное программирование – один из методов нахождения оптимальных решений.

Широкий круг задач хар-сяслед-им:

х1,х1,…хn – некот. набор параметров, кот.определяют эффективность какой-то системы. Известно, что в совок-ти эти параметры удовлетворяют некот. системе линейных ограничений:

а₁₁х₁+а₁₂х₂+…+а_1nx_n≥b₁

а₂₁х₁+а₂₂х₂+…+а_2nx_n≥b₂

a_m1x₁+a_m2x₂+…+a_mnx_n≥b_m

В общем виде либо линейные неравенства, либо линейные уравнения.

Количество Ур-ий или нер-в: m≠n

На переменные х1,х2…хn накладывается условие их положительности.

Среди мн-ва возможных значений параметров х, удовл-их системе ограничений, найти такие значения, кот.будут обеспечивать либо минимум, либо максимум линейной формы.

F=c1x1+c2x2+…+cnxn

F→min

max=(-min)

c1,c2,…cnкоэф-т а явл заранее известными.

Для задач подобного ряда методы поиска экстремума известны в математическом анализе, но не применимы.

=0 – точка оптимума

Найти оптимальное решение для системы ограничений не получается, т.к. кол-во ограничений может быть меньше числа неизвестных (система не имеет решения), либо больше числа неизвестных (бесконечное мн-во решений).

Е сли задача программирования имеет 2 независимых переменных х1,х2, то система ограничений представляет собой некоторый многоугольник.

Лин.ф-ияF – (опорная прямая)прямая линия

Если сдвигать прямую Fпараллельно себе, то при определенных значениях х1,х2 произойдет встреча опорной прямой, соот-ей линейной ф-ии с многоугольником решений. Коор-ты точки встречи будут оптимальным решением задачи линейного программирования. Решение игры может быть представлено как задача линейного программирования.

Предположим, что 1-ый игрок имеет некотмн-во стратегий

Х={x1,x2…xn} Игра не имеет седловой точки. Это означает, что 1-ый игрок должен использовать смешанные стратегии.

На пространстве стратегий 1-го игрока задано распр-е вероятностей:

P={p1,p1,…pn}; p_i≥0; p_i=1

Предположим, что 1-ый игрок использует минимаксную стратегию. Т.к. игра определена, то известны потери qij при испытании 1-ым игроком стратегии xi, а вторым – стратегии yi.

Т.к. 1-ый игрок использует смешанные стратегии, то мы должны рассчитать средний выигрыш или средние потери.

Согласно последней теореме если 1-ый игрок использует минимаксные стратегии, то он может гарантировать себе выигрыш не ниже цены игры независимо от действий 2-го игрока. Это условие можно записать так:

q11p1+q21p2+…+qn1pn≥∂

q12p1+q22p2+…+qn1pn≥∂

q1mp1+q2mp2+…+qnmpn≥∂