7. Смешанные игры

Если игра не имеет седловой точки, то применение чистых стратегий не дает оптимального решения игры. Нижняя цена игры не равна верхней. В таком случае можно получить оптимальное решение, случайным образом чередуя чистые стратегии.

Смешанной стратегией S_A игрока А называется применение чистых стратегий А₁, А₂,…,А_i,…А_m с вероятностями p₁, p₂,…,p_i,…p_m, причем сумма вероятностей равна 1: . Смешанные стратегии игрока записываются в виде матрицы:

или в виде строки . Аналогично смешанные стратегии игрока В обозначаются:

или , где сумма вероятностей появления стратегий игрока В равна 1: .

Чистые стратегии можно считать частным случаем смешанных и задавать строкой из нулей и единицы, причем единица должна стоять в позиции, соответствующей чистой стратегии.

На основании принципа минимакса определяется оптимальное решение игры: это пара оптимальных стратегий , в общем случае смешанных, обладающих следующим свойством: если один из игроков придерживается своей оптимальной стратегии, то другому не может быть выгодно отступать от своей оптимальной стратегии. Выигрыш, соответствующей оптимальному решению, называется ценой игры . Цена игры удовлетворяет неравенству:

,

где - нижняя цена игры; - верхняя.

Решение игры в смешанных стратегиях заключается в определении вероятностей, с кот. игроки должны выбирать чистые стратегии,при построении смешанных стратегий.

Опр.Смешанная стратегия игрока – полный набор вероятностей применения его чистых стратегий.

Задача смешанной игры- найти такие смешанные стратегии, кот. Обеспечат игрокам оптимальный результат, независимо от действий противника.(гарантированный результат)

Теорема Неймана: каждая конечная игра имеет по крайней мере одно оптимальное решение, возможно, среди смешанных стратегий.

Если чистая стратегия входит в оптимальную смешанную стратегию с вероятностью, отличной от нуля, то она называется активной.

Теорема об активных стратегиях: если один из игроков придерживается своей оптимальной смешанной стратегии, то выигрыш остается неизменным и равен цене игры , если второй игрок не выходит за пределы своих активных стратегий.

8. Доминирующие и полезные стратегии

Любая смешанная стратегия это смесь комбинации чистых стратегий, вбираемых с некоторой вероятностью. Может оказаться так, что есть какие-то чистые стратегии, включение которых в смешанную стратегию нецелесообразно или они дают малое значение выигрыша для 1го игрока или большое значение проигрыша для 2го. Те чистые стратегии, которые могут быть включены в смешанные стратегии игроков, относятся к классу полезных. Соответственно неполезные стратегии должны быть исключены из рассмотрения.

Доминирование- ситуация, при кот. Одна из стратегий нек. игрока дает больший выигрыш, нежели другая, при любых действиях его оппонентов.

При выборе своей стратегии из множества допустимых игрок сравнивает по предпочтительности исходы от их применения.

– Стратегия Б доминирует стратегию А, если при любом поведении остальных игроков использование стратегии Б дает не худший исход, нежели использование А.

Строгое доминирование(Выигрыш от Б больше чем от А, при любых условиях) и слабое доминирование(либо больший, либо равный выигрыш)

Этапы решения игры:

1)Проверка на седловую точку.

2)Построение смешанных стратегий. Если седловой точки нет, то обязательна проверка на доминирующие стратегии (неполезные стратегии необходимо исключить из игры => сокращ. Размерность игры).

Методы решения игры:

1)задачи линейного программирования

2)задачи минимакса