5. Математические игры. Платежная матрица. Верхняя и нижняя цена игры.

Одним из подходов решения задач в ИО явл математ игры – формальная модель принятия решений. В простейшей модели матричные игры просматривается конфликтная ситуация между игроками. Оба участника действуют рационально – у них есть цель – выиграть. Наличие цели – признак стратегических игр.

Рассмотрим парную конечную игру:

Игрок А имеет m стратегий A₁, A₂,…,A_m.

Игрок В имеет n стратегий B₁, B₂,…,B_n.

Размерность игры mn.

В результате выбора игроками любой пары стратегий A_i и B_j (i=1,2,…m; j=1,2,…n) однозначно определяется исход игры, то есть выигрыш игрока А a_ij и проигрыш игрока В -a_ij.

Матрица P=(a_ij) (i=1,2,…m; j=1,2,…n), элементами которой являются выигрыши, соответствующие стратегиям A_i и B_j, называется платежной матрицей или матрицей игры. Общий вид матрицы:

Таблица 1

	B1	B2	…	Bn
A1	a11	a12	…	a1n
A2	a21	a22	…	a2n
…	…	…	…	…
Am	am1	am2	…	amn

Строки этой таблицы соответствуют стратегиям игрока А, столбцы - стратегиям игрока В.

Предполагается,что 1ый игрок(А) всегда выигрывает.

Определим наилучшую стратегию игрока А среди стратегий A₁, A₂,…,A_m.

Обозначим - минимальный выигрыш игрока А, при выборе им стратегии A_i, для всех возможных стратегиях В.

- минимальное число в i-ой строке платежной матрицы.

Среди всех возможных выберем максимальное:

- нижняя чистая цена игры (максимин) - максимальный гарантированный выигрыш игрока А.

Стратегия, соответствующая максимину называется максиминной стратегией (Оптимальной чистой стратегией 1го игрока).

Второму игроку интересен наибольший проигрыш, который он может получить независимо от действий 1го игрока.

Обозначим - самый большой элемент в столбце j.

Тогда

- верхняя чистая цена игры (минимакс) - минимальный гарантированный проигрыш игрока В.

Стратегия, соответствующая минимаксу называется минимаксной стратегией (Оптимальной чистой стратегией второго игрока)

Если верхняя цена игры равна нижней цене игры, то - чистая цена игры. Стратегии, соответствующие чистой цене игры, называются оптимальными, а их совокупность - оптимальным решением или решением игры. Игрок А получает гарантированный, не зависящей от стратегии игрока В выигрыш , а игрок В добивается минимального гарантированного, не зависящего от выбора А, проигрыша .

Решение игры устойчиво, если один из игроков придерживается оптимальной стратегии, то для другого не может быть выгодным отклоняться от своей оптимальной стратегии.

6. Игры с седловой точкой.

Одним из самых простых случаев матричной игры являются игры с седловой точкой. В таких играх верхняя цена игры равна нижней. Решение таких игр состоит в нахождении седловой точки и определении стратегий игроков соответствующих седловой точке. Если игра с седловой точкой, то говорят, что игра имеет чистую цену, а игроки – чистую стратегию.

Пара чистых стратегий A_i B_j дает оптимальное решение игры тогда и только тогда, когда a_ij - максимум в своем столбце и минимум в своей строке. Такая ситуация, если она существует, называется седловой точкой.

Пример.

Найти верхнюю и нижнюю цену игры.

0,5	0,6	0,8
0,9	0,7	0,8
0,7	0,6	0,6

Подобную задачу в чистых стратегиях игроки могут решить только если им достоверно известны стратегии, но обычно игроки стараются держать свой выбор в секрете. Поэтому однозначный выбор чистой стратегии невозможен. Игры с седлловой точкой – это очень простой вид игр, встречается достаточно редко. Если игра решается в чистых стратегиях, то игра заканчивается в один ход.Если в игре имеется седловая точка, то игрокам нет смысла использовать какие либо другие варианты стратегий, кроме стратегий соответствующих седловой точке.