3. Задачи перебора. Задачи о выборе решения в условиях неопределенности

В случае, когда неизвестные факторы у1, у2 являются обычными случайными величинами с известными или определяемыми законами распределения вероятностей, задачи нужно решать в условиях неопределенности.

Существует 2 подхода:

1) искусственное сведение ситуации к детерминированной – применяется, когда диапазон случайных изменений величин сравнительно мал

2) оптимизация в среднем – нужно выбирать такое решение х1, х2…, при кот мат ожидание показателя эффективности обращается в максимум

W= М(W) = W(а1, а2…; у1,у2….; х1, х2…)(у1,у2…) dy1, dy2…

где d(y1) d(y2)… - плотность распределения случ величин у1, у2

В качестве оценки эффективности принимается мат ожидание эффективности (ср значение эффект) по всему множеству просмотренных ситуаций

Для того, чтобы решать задачи ИО, нужно иметь 3 множества:

1) мн-во известных факторов А={а_i : i=1,I}

2) мн-во неизвестных факторов Y={y_j : j=1,J}

3) мн-во решений X={x_k : k=1,K}

I<>J<>K

Для того, чтобы найти оптимальное решение мн-ва А,У,Х должны быть исчерпывающе полными. Но все мн-ва А,У,Х не явл исчерпывающе полными и поэтому найденное решение оптимальное в среднем будет еще и локально оптимальным в среднем (оптимальное для данной совокупности).

4. Теория стратегических игр

Стратегические игры – это модель конфликтной ситуации, т.е. есть стороны участвующие в этом конфликте, преследуют взаимно противоположные интересы. Признаком стратегических игр явл наличие цели.

Методы для решения задач с конфликтной ситуацией разработаны в математической теории, которая называется теорией игр.

Существует три составляющие:

1) участники (заинтересованные стороны)

2) интересы сторон

3) возможные действия

Все игры различают по числу сторон (участников). Игра называется парной, если в ней участвуют 2 игрока. Если игроков больше 2, то игра называется множественной. Самая простая игра – 2 игрока. Если число участников произвольное, то ситуация сложная.

Игра называется игрой с нулевой суммой или антагонистической, если интересы партнеров противоположны, то есть выигрыш одного игрока равен проигрышу другого. В этом случае достаточно рассматривать только а.

Игры с ненулевой суммой сводятся к играм с нулевой суммой(разницу между выигрышем первого и проигрышем второго приписывают третьему (фиктивному) игроку).

Игры с предпочтениями – игрок может однозначно оценить выигрыш. Когда это невозможно, вместо прямых оценок используют сравнительную предпочтительность того или иного решения. Для игр с двумя участниками и игр с выигрышем рассматриваются игры с нулевой суммой (выигрыш 1 = проигрышу 2) и игры с ненулевой суммой (они сводятся к нулевой - 1-2=дельта , дельта присваивается 3 (фиктивному) игроку).

Игра называется конечной, если игрок имеет конечное число стратегий. В противном случае игра называется бесконечной.

Решение игры – это выбор каждым игроком стратегии, которая удовлетворяет условию оптимальности, те есть один игрок должен получить максимальный выигрыш, когда другой игрок придерживается своей стратегии. В то же время другой игрок должен иметь минимальный проигрыш, если первый придерживается своей стратегии. Такие стратегии называются оптимальными.

Условие устойчивости: каждому из игроков должно быть не выгодно отказаться от своей стратегии. Оптимальная стратегия должна удовлетворять условию устойчивости.

Если игра повторяется много раз, то игроков интересует выигрыш или проигрыш в среднем.

Целью теории игр является определение оптимальной стратегии каждого игрока. При выборе оптимальной стратегии естественно предполагать, что оба игрока ведут себя разумно сточки зрения своих интересов.

Основная теорема теории игр: Если игра имеет свое решение, то игра имеет свою цену.

Если игроки используют оптимальные стратегии, то каждый из игроков может гарантировать себе результат равный цене игры, независимо от действий противника.