22.Игры с усеченными последовательными выборками.

Если есть некоторое мн-во экспериментов N, –мн-во исходных экспериментов в j-ом испытании. Z- общее пространство исходов экспериментов, при выполнении всех N-испытаний равно: Z= , ….., .

В играх с последовательными выборками статистик не должен проводить все N-набледений, а может ограничиться совокупностью ….. .

Все возможные мн-ва испытаний надо разбить на непересекающиеся подмножества экспериментов ……. .

Минимальная размерность этих подмножеств должна быть равна размеру усеченной выборки. Мы принимаем решение потому будет ли какой-то исход эксперимента принадлежать подмножеству S. Если исход эксперимента будет принадлежать нескольким подмножествам, то решений нет.

Множества S=( )

Вся совокупность S называется планом последовательной выборки. Множество исходов эксперимента z можно разбить на непересекающиеся подмножества несколькими способами. Каждый способ разбиения – свой план последовательной выборке. Всю совокупность этих планов называют полным планом последовательной выборке. В играх с последовательными выборками вводится понятие решающей ф-ции. Решающая ф-ция определяет последовательность наблюдений, после которых может быть принята какое то решение из множества решений статистика. У статистика должно быть некоторое множество решающей ф-ции. Стратегия статистика в игре с последовательными выборками состоит из 2х этапов:

1. Выбор плана последовательной выборке, указывающий на то, когда должен быть закончен эксперимент

2. Выбор решающей ф-ции

Получение апостериорных вероятностей – один из способов уточнения своих знаний.

Для того, чтобы принять решение, надо задать стоимость испытания. Чтобы упростить записи, предполагают, что стоимость испытания =1. Стоимость выступает в качестве постоянного множителя. Принципиального значения конкретная величина стоимости испытания не имеет. Для всех игр с природой и с последовательной выборкой все начинается с априорного распределения вероятностей природы. Это распределение существует объективно. В играх с последовательными играми добавляется и апостериорное распределение вероятностей.

(v) – в это распределение включена априорная вероятность состояния природы до эксперимента и апостериорная вероятность, полученная входе эксперимента.

Рассматриваем эксперимент с последовательными выборками. Если провели j – испытаний, то получили (v). Если выполнили следующие испытание j+1, то (v) по отношению к j+1 эксперименту будет априорной до этого испытания . В играх с единичным экспериментом ()= , применяя некоторое преобразование Т, получим новое значение апостериорного распределения: Т* ()= ()= .

23. Критерии выбора оптимальной стратегии в статистической игре.

1. Наиболее просто решается задача о принятии решения в условиях неопределённости, когда, хотя и неизвестны условия выполнения операции   но известны их вероятности   соответственно. В этом случае в качестве показателя эффективности естественно взять математическое ожидание выигрыша

1.1. По критерию Байеса, за оптимальную чистую стратегию принимается чистая стратегия   при которой величина   достигает наибольшего значения. С помощью этого критерия задача принятия решения в условиях неопределённости сводится к задаче принятия решения в условиях определённости, только принятое решение является оптимальным не в каждом отдельном случае, а в среднем.

Следует отметить, что, по критерию Байеса, оптимальной будет та стратегия   при которой минимизируется величина среднего риска

Это связано с тем, что стратегия, максимизирующая средний выигрыш, совпадает со стратегией, минимизирующей средний риск.

1.2. Вероятности   состояний «природы»    могут быть определены из статистических данных, связанных с многократным выполнением подобных операций или просто с проведением наблюдений над состояниями «природы». Однако часто об этих состояниях нет никаких представлений. В подобных случаях состояния могут быть оценены субъективно: некоторые из них представляются нам более, а другие – менее правдоподобными. Для того чтобы наши субъективные представления формализовать численно, могут применяться различные технические приёмы. Так, если мы не можем предпочесть ни одной гипотезы, то естественно положить состояния «природы» равновероятными:

Этот подход получил название принципа недостаточного основания Лапласа. В этом случае, как и по критерию Байеса, оптимальной считается та стратегия, при которой максимизируется средняя величина выигрыша.

В основе критерия Лапласа лежит предположение: если о состояниях природы ничего не извстно,то их можно считать равновероятными.

_K(Ai)=1/n*

_{K(оптимальное) = max } K(Ai), i=1,m 

2. Критерии, которые можно использовать для определения оптимальной стратегии в случае, когда вероятности состояний «природы» неизвестны.