Экономический анализ полученных решений
Для получения максимальной прибыли, которая может составить 8333,3ед, звероферме необходимо разводить 833 лисы, на которых будет потрачено 4166 ед корма и 416 клеток. Трудовые ресурсы будут использованы полностью.
1.6 Решение задачи симплексным методом вручную
И
сходная
задача:
0,5х1 + х2 ≤ 1000
х1 ≥200
5х1 + 7 х2 ≤ 9000
3х1 + 4х2 ≤ 2500
х1 ≥ 0 , х2 ≥ 0
Z =10 х1 + 5 х2 => max
Каноническая задача:
0,5 х1+ х2 + х 3 = 1000
х1 - х4 = 200
5х1 + 7х2 + х5 = 9000
3х1 + 4х2 + х6 = 2500
хj ≥ 0 ( j = 1, 6)
Z = 10х1 + 5 х2 + 0 х 3 + 0 х4 + 0 х5 +0 х6 => max
В
спомогательная
задача:
0,5 х1+ х2 + х 3 = 1000
х1 - х4 - х7 = 200
5х1 + 7х2 + х5 = 9000
3х1 + 4х2 + х6 = 2500
хj ≥ 0 ( j = 1, 7)
Z = 10х1 + 5 х2 + 0 х 3 + 0 х4 + 0 х5 +0 х6 -М х7=> max
ИТЕРАЦИЯ 1.
Шаг 1.
В
ыписываем
исходное допустимое базисное решение
и соответствующее значение целевой
функции.
Х1 = х1 х2 х3 х4 х5 х6 х7
0 0 1000 0 9000 2500 200
Z1 = 10*0 + 5*0 + 0 *1000 + 0 *0+ 0*9000 +0*2500 -200*М=> max
Шаг 2.
Проверяем оптимальность полученного решения.
Пусть Δ х1 = 1
Тогда Δ х3 = −0,5
Δ х7 = −1
Δ х5 = −5
Δ х6= −3
Δ Z = 10*1 + 5*0 + 0 *(-0,5) + 0 *0+ 0*(-5) +0*(-3) -М*(-1) =10+М => 0
Вывод: Решение Х1 не оптимальное. Переменную х1 целесообразно ввести в базис, так как значение целевой функции увеличивается.
Шаг 3.
Определяем какая из прежних базисных переменных должна быть выведена из базиса.
1000 : 0,5 =2000
200 : 1 = 200 (*)
9000 : 5 =1800
2500 : 3= 833
Вывод: переменная х2 станет базисной во втором уравнении, переменная х1 покидает базис.
Шаг 4.
П
ересчет
системы линейных уравнений задачи с
учетом нового состава базисных переменных.
х2 + х 3 +0,5 х4 -0,5 х7 = 900
х1 - х4 + х7 = 200
7х2 +5х4 + х5 -5х7 = 8000
4х2 +3х4 + х6 -3х7 = 1900
ИТЕРАЦИЯ 2.
Шаг 1.
В
ыписываем
очередное допустимое базисное решение
и соответствующее значение целевой
функции.
Х2 = х1 х2 х3 х4 х5 х6 х7
200 0 900 0 8000 1900 0
Z2 =10*200+5*0+0*900+0*0+0*8000+0*1900-M*0=2000
Шаг 2.
Проверяем оптимальность полученного решения.
Пусть Δ х2 = 1
Тогда Δ х3 = −1
Δ х1= 0
Δ х5= −7
Δ х6= −4
Δ Z = 10*0+5*1+0*(-1)+0*0+0*(-7)+0*(-4)-0*M=5>0
Вывод: Решение Х2 не оптимальное. Переменную х2 целесообразно ввести в базис, так как значение целевой функции увеличивается.
Шаг 3.
Определяем какая из прежних базисных переменных должна быть выведена из базиса.
900:1=900
8000:7=1142
1900:4=475(*)
Вывод: переменная х2 станет базисной в четвертом уравнении, переменная х6 покидает базис.
Шаг 4.
П
ересчет
системы линейных уравнений задачи с
учетом нового состава базисных переменных
х
3
-
х4
-
х6
+
х7
= 425
х1 - х4 +х7 = 200
-
х4
+ х 5
-
х6
+
х7
= 4675
х2
+
х4
+
х6
-
х7
=475
ИТЕРАЦИЯ 3.
Шаг 1.
В ыписываем очередное допустимое базисное решение и соответствующее значение целевой функции.
Х3 = х1 х2 х3 х4 х5 х6 х7
200 475 425 0 4675 0 0
Z3 =10*200+5*475+0*425+0*0+0*4675+0*0-0*М=4375
Шаг 2.
Проверяем оптимальность полученного решения.
Пусть Δ х4 = 1
Тогда Δ х3 =
Δ х1= 1
Δ х5=
Δ х2= −
Δ Z = 10*1+5*(− )+0* +0*0+0* +0*0-0*M=6.25>0
Вывод: Решение Х3 не оптимальное. Переменную х3 целесообразно ввести в базис, так как значение целевой функции увеличивается.
Шаг 3.
Определяем какая из прежних базисных переменных должна быть выведена из базиса.
425: (- )= -106.25
200: (-1)= -200
4675: (- )= -1168.75
475: ( )=356.2 (*)
Вывод: переменная х4 станет базисной в четвертом уравнении, переменная х2 покидает базис.
Шаг 4.
П
ересчет
системы линейных уравнений задачи с
учетом нового состава базисных переменных
х2
+ х3
-
х6
=
х1
+
х2
+
х6
=
х2
+
х 5
+
х6
=
х2
+х4
+
х6
-х7
=
ИТЕРАЦИЯ 4.
Шаг 1.
В ыписываем очередное допустимое базисное решение и соответствующее значение целевой функции.
Х4 = х1 х2 х3 х4 х5 х6 х7
0
0 0
Z4 = 10* +5*0+0* +0* +0* +0*0-0*M=8333.33
Шаг 2.
Проверяем оптимальность полученного решения.
Пусть Δ х6 = 1
Тогда Δ х3
=
Δ х1= -
Δ х5=
-
Δ х4= -
Δ Z
= 10*(-
)+5*0+0*
+0*(-
)+0*(-
)+0*1-0*M=
-
<0
Шаг 2 продолжается.
Пусть Δ х2 = 1
Тогда Δ х3 = -
Δ х1 = -
Δ х5 = -
Δ х4 = -
Δ Z
= 10*( -
)
+ 5*1 + 0*(-
)+
0*(-
)+
0*(-
)
+ 0*0 − M*0
= -
<0
Вывод: переменную х4 нецелесообразно вводить в базис, поскольку значение целевой функции уменьшается.
Общий вывод по шагу 2: ни одну из небазисных переменных нецелесообразно вводить в базис, так как значение целевой функции уменьшается, поэтому решение Х4 является оптимальным. Так как в решении присутствует искусственная переменная х7 , то это является признаком того, что задача не имеет решения ввиду несовместности системы ограничений.
1.6 Решение задачи в пакете Simplex
Решив задачу в пакете программ линейной оптимизации Simplex, получаем тот же результат, что и при решении задачи графическим методом (Приложение Б).
1.7 Решение задачи в среде EXCEL
Решим эту задачу симплексным методом на компьютере с помощью надстройки поиск решения в среде EXCEL. Результаты решения задачи представлены в Приложении В.
Решения, полученные в среде EXCEL и в пакете программ линейной оптимизации Simplex, также совпадают.
1.8 Анализ результатов решения задачи
Математический анализ: ABC-область допустимых решений. Задача имеет единственное оптимальное решение. Max функции достигается в точке С (833;0). Значение целевой функции в точке С равно 8333.
Экономический анализ: на звероферме необходимо разводить 833 лисицы и 0 песцов. При таком обьеме выпуска ожидается максимум прибыли в размере 8333 д.е.
2 Второе задание
2.1 Условие задачи
С трех полей, имеющих запас силоса, соответственно 450, 700, 250 тонн требуется отвезти его в четыре траншеи емкостью, соответственно 450, 300, 500, 320 тонн. Составить оптимальный маршрут перевозок силоса от полей к траншеям, обеспечивающий минимальные транспортные затраты. Расстояния от каждого поля до каждой траншеи известны (таблица 1).
Таблица 1. Расстояния от полей до траншей, км
Поля |
Траншеи |
|||
1 |
2 |
3 |
4 |
|
1 |
3 |
6 |
2 |
3 |
2 |
5 |
2 |
2 |
6 |
3 |
10 |
9 |
13 |
11 |