Глава 3

цесс повторяется до тех пор, пока в полученном выражении не останется конъюнкций, которые отличаются друг от друга значениями одной пере­менной. Полученная таким способом форма называется сокращенной нормальной формой. Конъюнкции, которые входят в сокращенную нор­мальную форму, называются простыми импликантами. Каждой логиче­ской функции отвечает лишь одна сокращенная форма.

2. Применяя к сокращенной нормальной форме операцию обобщенного склеивания, исключают из нее лишние конъюнкции (импликанты). Полу­- ченная в результате последовательного ряда таких преобразований форма, не допускающая дальнейших склеиваний, называется тупиковой формой логической функции. Тупиковых форм для одной функции может быть несколько.

3. Полученная тупиковая форма может случайно оказаться минимальной. Минимальной формой является тупиковая форма минимальной длины. В общем случае для поиска минимальной формы необходим перебор ту­ пиковых форм, который позволяет найти одну или несколько минималь­- ных форм логической функции.

Для исходной функции, заданной в виде СКНФ, минимизация методом непо­средственного упрощения выполняется таким образом.

1. Сначала к членам СКНФ применяют операцию полного склеивания.

1. Пользуясь законом дистрибутивности, раскрывают скобки в полученном выражении.

2. Приводят подобные члены и применяют операцию поглощения.

3. Полученную таким способом ДНФ минимизируют в указанном выше по­ рядке.

Пример: Найти минимальную форму функции, заданной СДНФ F(a,b,c) =a c + с + + b +ab =abc.

Применяя операцию полного склеивания к сочетаниям каждой конституенты со всеми соседними и приводя подобные члены, получаем сокращенную нормальную форму:

F(a,b,c) = + c+ac+ab+b +

Применение операции обобщенного склеивания к импликантам можно осу­ществить в нескольких вариантах.

Методы минимизации булевых функций

47

Каждому из них отвечает одна из следующих тупиковых форм:

F₁(a,b,c) = ac + c + b + ;

F₂ (a,b,c) = ac + b + ;

F3(a,b,c) = c + ab + .

Очевидно, что анализируемой функции отвечают две минимальных нормаль­ных формы F₂{a,b,c) и F₃(a,b,c).

3.3. Метод Карно—Вейча

Метод диаграмм Вейча, усовершенствованный Карно, применяется в том слу­чае, если число аргументов не более 5—6 [23, 36]. Карты Карно — это графи­ческое представление таблиц истинности. Каждой комбинации переменных можно поставить в соответствие клетку карты Карно. В клетку записывается значение функции (0 или 1) для данной комбинации входных переменных. Входные переменные располагаются по внешним сторонам карты напротив ее строк и столбцов. При этом значение каждой из входных переменных относит­ся ко всей строке или столбцу и равняется 1, если напротив строки (столбца) стоит под скобкой обозначение этой переменной; для других строк (столбцов) значение этой переменной равняется 0.

Каждая из входных переменных делит по-своему любую карту Карно на две равных части, в одной из которых значение этой переменной равняется 1, а в другой 0. Каждой клетке карты отвечает определенная комбинация значений всех входных переменных, а каждая сторона клетки представляет собой гра­ницу между значениями переменных. Число клеток карты Карно определяет­ся величиной 2", где п равняется числу входных переменных.

Пример: Для функции трех переменных F(a, b, с), заданой таблицей истин­ности (табл. 3.1), карта Карно приведена на рис. 3.1.

Рис. 3.1. Карта Карно для функции трех переменных