14. Составление уравнения для функции Беллмана

Математическая модель. Целевая функция (суммарная прибыль) будет

(1)

Ограничения:

(2)

(В (2) можно использовать и неравенство , однако, как правило, ресурс используется полностью.)

(3)

Рассмотрим в (1)-(3) первых технологических процесса и выделим для них ресурс в объёме и будем этот ресурс для этих процессов распределять оптимально, тогда приходим к задаче:

(4)

Зафиксируем в (4) параметры и и задачу (4) будем решать следующим образом: последнему -му процессу выделим ресурс в объёме и получим прибыль , тогда процессам останется ресурс в объёме . Предположим, что распределение этого остатка осуществляется оптимальным образом, тогда получим прибыль . В результате такого подхода решение задачи (4) суммарная прибыль: .

Будем изменяться и искать такое значение для него, чтобы получаемая прибыль была наибольшей, то есть будем решать задачу:

(5)

Согласно принципу оптимальности Беллмана оптимальное значение целевой функции задачи (5) равно . То есть выполняется отношение:

(6)

(6) – искомое уравнение Беллмана. Решая задачу (5), мы найдём для неё оптимальный план . Это, очевидно, будет оптимальное количество ресурса, которое выделяется -му ресурсу в задаче (4). То есть оптимальное количество ресурса, которое получает -ый процесс при наилучшем распределении ресурса в объёме ля первых процессов: . Уравнение (6) по динамическому параметру рекуррентно, поэтому для того, чтобы его решить нужно задать для (6) начальные условия. Они получаются, если положить в (4) , тогда приходим к задаче: . Эта задача тривиальна, у неё единственный план и оптимальное значение целевой функции тогда будет:

(7)

15.Решение уравнения (6)-(7)

Математическая модель. Целевая функция (суммарная прибыль) будет

(1)

Ограничения:

(2)

(В (2) можно использовать и неравенство , однако, как правило, ресурс используется полностью.)

(3)

Рассмотрим в (1)-(3) первых технологических процесса и выделим для них ресурс в объёме и будем этот ресурс для этих процессов распределять оптимально, тогда приходим к задаче:

(4)

Уравнение (6) будем решать последовательно, положим в (6) , тогда получим . Справа под максимумом стоит известная функция, решая задачу максимизации, найдём .

На 2-ом шаге полагаем в (6) , аналогично находим и так далее. Пройдя последовательно шаг, мы построим полное решение уравнения Беллмана: .

Приступаем к построению оптимального плана задачи (1)-(3). Полагаем в функции Беллмана тогда, очевидно, будет искомая максимальная прибыль. Одновременно мы найдём . Эта оптимальная компонента для -го ресурса, тогда для процессов остаток ресурса будет и найдём, что и так далее. Для любого : . Задача решена полностью.

Метод динамического программирования имеет свои преимущества и недостатки.

Преимущества:

1. задача оптимизации с переменными сводится к задачи одномерной оптимизации.

2. результатом метода динамического программирования является всегда оптимальный план (глобально), а не локально оптимальные планы как в большинстве других планов.

3. результаты решённой задачи оптимизации можно использовать в случае изменения параметров (задачу не надо пересчитывать заново).

4. как правило, задача одномерной оптимизации решается методом поиска, поэтому метод динамического программирования может использоваться для задачи оптимизации, в которых функции не являются дифференциальными, непрерывными, аналитическими.

Недостаток динамического программирования – «проклятие размерности». Дело в том, что при решении задач на ЭВМ требуется хранить в памяти значение функции Беллмана, то есть запоминать функции. Количество запоминаемой информации растёт лавинообразно с ростом размерности задачи (если распределяется не один ресурс, а ). Разработаны специальные подходы, которые позволяют смягчить этот недостаток.