1
Задача №1
Интегральная функция распределения F(x) непрерывной случайной величины задана следующим образом.
Найти плотность распределения этой случайной величины, вычислить числовые характеристики распределения и построить графики функции распределения и плотности распределения.
Решение.
Задача №2
По данным выборочного обследования получено следующее распределение семей по среднедушевому доходу:
Среднедушевой доход семьи в месяц (у.е.) |
до 25 |
25-50 |
50-75 |
75-100 |
125-150 |
150-175 |
175 и выше |
Количество обследованных семей |
46 |
236 |
250 |
176 |
102 |
78 |
12 |
Постройте гистограмму распределения частот. Найдите среднедушевой доход семьи в выборке, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариации. Объясните полученные результаты.
Решение.
Среднедушевой доход семьи в месяц (у.е.) |
Количество обследованных семей |
Середины интервалов |
|
|
0-25 |
46 |
12,5 |
575 |
192024,8 |
25-50 |
236 |
37,5 |
8850 |
370272,7 |
50-75 |
250 |
62,5 |
15625 |
53363,03 |
75-100 |
176 |
87,5 |
15400 |
18999,57 |
125-150 |
102 |
137,5 |
14025 |
371989,1 |
150-175 |
78 |
162,5 |
12675 |
568733,3 |
175-200 |
12 |
187,5 |
2250 |
146231,4 |
Сумма |
900 |
- |
69400 |
1721614 |
Задача №2
С целью изучения размеров дневной выручки в сфере мелкого частного бизнеса была произведена 10%-ая случайная бесповторная выборка из 1000 торговых киосков города. В результате были получены данные о средней дневной выручке, которая составила 500 у.е. В каких пределах с доверительной вероятностью 0,95 может находиться средняя дневная выручка всех торговых точек изучаемой совокупности, если среднее квадратическое отклонение составило 150 у.е.?
Решение.
N=1000,
,
Задача №1
Под руководством бригадира производственного участка работают 3 мужчин и 4 женщины. Бригадиру необходимо выбрать двух рабочих для специальной работы. Не желая оказывать кому-либо предпочтения, он решил выбрать двух рабочих случайно. Составьте ряд распределения числа женщин в выборке. Найдите числовые характеристики этого распределения. Какова вероятность того, что будет выбрано не более одной женщины?
Решение.
Гипергеометрический закон
X – число женщин в выборке |
0 |
1 |
2 |
P(X=m) |
0,1429 |
0,5714 |
0,2857 |
Задача №1
На рынке представлено 8 различных пакетов программ для бухгалтерии с приблизительно равными возможностями. Для апробации в своих филиалах фирма решила отобрать 3 из них. Сколько существует способов отбора 3 программ из 8, если отбор осуществлен в случайном порядке? Какова вероятность того, что среди отобранных случайно окажутся 3 программы, занимающие наименьший объем памяти?
Решение.
А – отобраны программы, занимающие наименьший объем памяти
Задача №2
Для оценки состояния деловой активности промышленных предприятий различных форм собственности были проведены выборочные бизнес-обследования и получены следующие результаты:
Интервалы значений показателя деловой активности (в баллах) |
0 - 8 |
8 - 16 |
16 - 24 |
24 - 32 |
Число предприятий (акционерные общества открытого типа) |
10 |
15 |
8 |
5 |
Построить гистограмму распределения частот. Найти среднее значение показателя деловой активности, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариации. Объяснить полученные результаты.
Решение.
Число предприятий (акционерные общества открытого типа) |
Середины интервалов |
|
|
10 |
4 |
40 |
940,9 |
15 |
12 |
180 |
43,35 |
8 |
20 |
160 |
317,52 |
5 |
28 |
140 |
1022,45 |
38 |
|
520 |
2324,22 |
22
Задача №1
При слиянии акционерного капитала двух фирм аналитики фирмы, получающей контрольный пакет акций, полагают, что сделка принесет успех с вероятностью равной 0,65, если председатель совета директоров поглощаемой фирмы выйдет в отставку; если он откажется, то вероятность успеха равна 0,3 Предполагается, что вероятность ухода в отставку председателя составляет 0,7. Чему равна вероятность успеха сделки?
Решение.
А – сделка принесет успех
Гипотезы Hi |
P(Hi) |
P(A/Hi) |
P(Hi) P(A/Hi) |
H1 - председатель совета директоров выйдет в отставку |
0,7 |
0,65 |
0,455 |
H2- председатель совета директоров не выйдет в отставку |
1-0,7=0,3 |
0,30 |
0,09 |
Итого: |
1 |
- |
Р(А) = 0,545 |
Задача №2
Найдите вероятность того, что стандартная нормально распределенная случайная величина будет больше, чем - 2,33.
РЕШЕНИЕ.
0,9901
Задача №1
На химическом заводе установлена система аварийной сигнализации. Когда возникает аварийная ситуация, звуковой сигнал срабатывает с вероятностью 0,95. Звуковой сигнал может сработать случайно и без аварийной ситуации с вероятностью 0,02. Реальная вероятность аварийной ситуации равна 0,004. Предположим, что звуковой сигнал сработал. Чему равна вероятность реальной аварийной ситуации?
Решение.
А – сработал звуковой сигнал
Гипотезы Hi |
P(Hi) |
P(A/Hi) |
P(Hi) P(A/Hi) |
H1 – аварийная ситуация |
0,004 |
0,95 |
0,0038 |
H2- безаварийная ситуация |
1-0,004=0,996 |
0,02 |
0,01992 |
Итого: |
1 |
- |
Р(А) = 0,02372 |
Задача №2
При выборочном опросе 1200 телезрителей оказалось, что 456 из них регулярно смотрят программы телеканала НТВ. Постройте 99% доверительный интервал, оценивающий долю всех телезрителей, предпочитающих программы телеканала НТВ.
Решение
n=1200,
m=456,
Задача №2
Найдите вероятность того, что стандартная нормально распределенная случайная величина будет иметь значения между 2 и 3.
РЕШЕНИЕ.
0,0215
25
Задача №1
Предположим, что в течение года цена на акции компании «Восток» есть случайная величина, подчиняющаяся нормальному закону распределения с математическим ожиданием 40 у.е. и среднеквадратическим отклонением, равным 10 у.е. Определите вероятность того, что:
А) в выбранный день обсуждаемого года цена акции была менее 45 у.е. за акцию;
Б) в выбранный день обсуждаемого года цена акции отклонится от своего математического ожидания на величину меньшую 20 у.е.
Решение.
а)
б)
.
Задача №2
Для изучения мнения потребителей о новом виде услуг, предоставляемых туристической фирмой, методом случайного отбора было опрошено 400 человек. Из числа опрошенных, 280 человек заинтересовались новым видом услуг. С вероятностью 0,95 определите пределы, в которых будет находиться доля лиц, заинтересовавшихся новым видом услуг.
Решение
n=400,
m=280,
26
Задача №1
В барабане книжной лотереи осталось 10 билетов, среди которых 2 выигрышных. Покупатель приобрел 3 билета. Составьте закон распределения числа выигрышных билетов среди них. Вычислите числовые характеристики этого распределения. Какова вероятность того, что среди купленных билетов будет хотя бы один выигрышный?
Решение.
Гипергеометрический закон
X – число выигрышных билетов среди трех |
0 |
1 |
2 |
P(X=m) |
0,4667 |
0,4667 |
0,0667 |
Задача №2
Случайная повторная выборка 225 людей, обратившихся в брачное агентство, показала, что 100 из них нашли себе пару с его помощью. Постройте 95% доверительный интервал доли людей, нашедших себе супруга через брачное агентство.
Решение
n=225, m=100,
27
Задача №1
В первой коробке 4 зеленых и 3 красных карандаша, во второй 2 зеленых и 5 красных карандашей. Наудачу переложили один карандаш из первой коробки во вторую, после чего из второй коробки извлекли карандаш. Какова вероятность того, что извлеченный карандаш зеленого цвета?
Решение.
А –карандаш, извлеченный из второй коробки - зеленый
Гипотезы Hi |
P(Hi) |
P(A/Hi) |
P(Hi) P(A/Hi) |
H1 - из I коробки во II переложили зеленый карандаш |
4/7 |
3/8 |
12/56 |
H2- из I коробки во II переложили красный карандаш |
3/7 |
2/8 |
6/56 |
Итого: |
1 |
- |
Р(А) = 18/56 ≈ 0,321 |
Задача №2
Для оценки состояния деловой активности промышленных предприятий различных форм собственности были проведены выборочные бизнес-обследования и получены следующие результаты:
Интервалы значений показателя деловой активности (в баллах) |
0 - 8 |
8 - 16 |
16 - 24 |
24 - 32 |
Число предприятий (акционерные общества открытого типа) |
10 |
15 |
8 |
5 |
Построить гистограмму распределения частот. Найти среднее значение показателя деловой активности , дисперсию, среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариации. Объяснить полученные результаты.
Решение.
Число предприятий (акционерные общества открытого типа) |
Середины интервалов |
|
|
10 |
4 |
40 |
940,9 |
15 |
12 |
180 |
43,35 |
8 |
20 |
160 |
317,52 |
5 |
28 |
140 |
1022,45 |
38 |
|
520 |
2324,22 |
28