как научиться решать урматы за 1 день до зачета!!! / шпоры / граничные и начальные условия

Краткое уравнение колебаний струны: a²U_xx=U_tt, a²=T/ρ, стержня a²U_xx=U_tt, a²=K/ρ

Полное уравнение колебаний

струны:

ρ(x)U_tt=∂/∂x[T(x)U_x(x,t)]+f(x,t),

где:

U(x,t) – смещение натяжения струны в направлении перпендикулярном х.

ρ(x) – линейная плотность струны.

T(x) – сила натяжения струны в точке с абсциссой х.

f(x,t) – плотность внешних сил рассчитанных на единицу длины.

стержня:

ρ(x)S(x)U_tt=∂/∂x[K(x)S(x)U_x]+f(x,t).

где:

U(x,t) – смещение вдоль оси х поперечного сечения, абсцисса которого в равновесном состоянии равна х.

ρ(x) – плотность стержня.

f(x,t) – плотность равнодействующих внешних сил.

S(x) – площадь поперечного сечения с абсциссой х

K(x) – модуль упругости.

Краткое уравнение теплопроводности: a²U_xx=U_t, где а²=

Полное уравнение теплопроводности (последнее слагаемое прибавляется если на боковой поверхности происходит конвективный теплообмен со средой по закону ньютона.)

∂/∂x[K(x)S(x)U_x]=ρ(x)S(x)C(x)U_t+

+pα₁(U(x,t)-U_cp)

Где:

U(x,t) – температура стержня (поперечного сечения с абсциссой х)

ρ(x) – плотность массы стержня.

S(x) – площадь поперечного сечения.

K(x) – коэффициент теплопроводности материала стержня.

C(x) – удельная теплоёмкость.

p – периметр

α_i – коэффициент теплообмена

U_cp – температура окружающей среды.

Закон ньютона: q=Sα(U-U₀)

q – количества тепла, прошедшего через поперечное сечение площади S в единицу времени.

Краткое уравнение диффузии:

a²U_xx=U_t, где а²=

полное уравнение диффузии (последнее слагаемое прибавляется в случае полупроницаемости граничных плоскостей):

∂/∂x[D(x)S(x)U_x(x,t)]= S(x)C(x)U_t+Sα(U-U₀)

D(x) – коэффициент диффузии

S(x) – площадь поперечного сечения

C(x) – коэффициент пористости

U(x,t) – концентрация в сечении с абсциссой х в момент времени t

U₀ – концентрация среды

α –

W(x,t)= Sα(U-U₀) – диффузионный поток (масса газа прошедшего в единицу времени через площадь сечения S.