как научиться решать урматы за 1 день до зачета!!! / шпоры / Методы решения уравнений математической физики краткое

Однородные уравнение и краевые условия

Уравнение и краевые условия однородны

начальные условия могут быть произвольны

a²U_xx(x,t)=U_t(x,t)

{a²U_xx(x,t)=U_tt(x,t)}

γ₁U_x(0,t)-γ₂U(0,t)=0

γ₃U_x(l,t)+γ₄U(l,t)=0

U(x,0)=ν(x)

{U_t(x,0)= μ(x)}

Метод Фурье:

Ищем U(x,t) в виде: U(x,t)=F(x)T(t)

Для F(x) получаем задачу Штурмана-Лиувиля

(метод разделения переменных)

Стационарная неоднородность в уравнении или краевом условии

Стационарная неоднородность (не зависит от t) в уравнении или краевом условии начальные условия могут быть произвольны

a²U_xx(x,t)=U_t(x,t)(+hU(x,t))

{a²U_xx(x,t)=U_tt(x,t)(+hU(x,t)}

γ₁U_x(0,t)-γ₂U(0,t)=U₁

γ₃U_x(l,t)+γ₄U(l,t)=U₂

U(x,0)=ν(x)

{U_t(x,0)= μ(x)}

Выделяем стационарное решение, т. е. ищем решение в виде:

U(x,t)=υ(x)+ω(x,t)

Требуем, чтобы υ(x) удовлетворяла уравнению и краевым условиям

Тогда для ω(x,t) получаем однородную задачу (на метод разделения переменных)

Неоднородности общего вида

I)Начальные и краевые условия нулевы

a²U_xx(x,t)+f(x,t)=U_t(x,t)

{a²U_xx(x,t)+f(x,t)=U_tt(x,t)}

γ₁U_x(0,t)-γ₂U(0,t)=0

γ₃U_x(l,t)+γ₄U(l,t)=0

U(x,0)=0

{U_t(x,0)=0}

Ищем собственные функции соответствующие однородной задаче: F_n(x), решение U(x,t) раскладываем в ряд по собственным функциям по теореме Стеклова: U(x,t)=∑ψ_n(t)F_n(t)

II)Не нулевые начальные условия.

a²U_xx(x,t)+f(x,t)=U_t(x,t)

{a²U_xx(x,t)+f(x,t)=U_tt(x,t)}

γ₁U_x(0,t)-γ₂U(0,t)=0

γ₃U_x(l,t)+γ₄U(l,t)=0

U(x,0)=ν(x)

{U_t(x,0)= μ(x)}

Ищем решение в виде:U(x,t)=υ(x,t)+ω(x,t)

Для υ(x,t) получаем задачу на метод разделения переменных (метод Фурье)

Для ω(x,t) получаем задачу I:

III)Не нулевые краевые условия

a²U_xx(x,t)+f(x,t)=U_t(x,t)

{a²U_xx(x,t)+f(x,t)=U_tt(x,t)}

γ₁U_x(0,t)-γ₂U(0,t)=λ(t)

γ₃U_x(l,t)+γ₄U(l,t)= τ(t)

U(x,0)=ν(x)

{U_t(x,0)= μ(x)}

Подбираем υ(x,t) такое, чтобы оно удовлетворяло краевым условиям, и ищем решение в виде: U(x,t)=υ(x,t)+ω(x,t)

Для ω(x,t) получаем задачу II