18) Однородная система уравнений. Теорема о сущ нетривиального решения (случай,nxn)

Однородная система линейных уравнений AX = 0 всегда совместна. Она имеет нетривиальные (ненулевые) решения, если r = rank A < n.

     Для однородных систем базисные переменные (коэффициенты при которых образуют базисный минор) выражаются через свободные переменные соотношениями вида:

     Тогда n - r линейно независимыми вектор-решениями будут:

а любое другое решение является их линейной комбинацией. Вектор-решения   образуют нормированную фундаментальную систему.

     В линейном пространстве   множество решений однородной системы линейных уравнений образует подпространство размерности n - r;   - базис этого подпространства.

Т е о р е м а 1. Однородная система имеет нетривиальные решения тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы r меньше числа неизвестных n:

rang A = r < n.

Док-во:

Система всегда имеет одно решение когда ранг меньше числа неизвестных система имеет множество решений одно из них тривиальное все остальные не тривиальные также ранг не может быть больше числа неизвестных.

Теорема о линейной комбинации решений однородной системы уравнений: если векторы С1, С2,…, Сn являются решением системы АХ=0 то любая их линейная комбинация С=L1C1+L2C2+…+LnCn является решением этой системы т.к. С1…Сn решение системы то АХ=0 следует что АС1=0… АСn=0 учитывая распределительный и сочетательный закон матричного умножения а также независимость произведения на число от порядка множителя имеем АС=А(L1C1+…LnCn)=L(AC1)+…L(Acn) из этого следует что С решение системы АХ=0.

Фундаментальной системой решений называется линейно зависимая система решений ч/з которую линейно выражается решение данной системы.

19) Необходимое и достаточное условие сущ нетривиального решения

20)Фундаментальная система решений однородной системы уравнений

Фундаментальной системой решений (ФСР) однородной системы уравнений называется совокупность решений, которая обладает двумя свойствами.

1. ФСР состоит из (n – r) линейно-независимых решений, где n – число неизвестных, r – ранг матрицы системы.

2. Любое решение однородной системы можно представить в виде линейной комбинации фундаментальной системы решений.

На практике для построения фундаментальной системы решений (ФСР) свободным неизвестным

x_r+1 ,   ... ,x_n можно придать значения единичной матрицы:

(8)

Пример 1. Решить систему:

 

Решение. Запишем матрицу системы:

(9) Система имеет только тривиальные решения.

Ответ:      .

21)Общее решение сис-мы уравнений в векторной форме

Система уравнений вида

                                                ,                                                              

называется неоднородной системой линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Будем считать, что    являются непрерывными функциями на (a,b).

Система дифференциальных уравнений

                                                  ,                                                                     

называется однородной. Вводя в рассмотрение векторы   и матрицу  , уравнения можно представить в векторной форме

                                                                       ,                                                                      (1')

                                                                       .                                                                          (2')

Матрица

                                                          ,                                                              (3)

где   - координаты линейно независимых решений (векторов)

...........................

векторного уравнения (2'), называется фундаментальной матрицей этого уравнения. Иногда ее называют матрицей Вронского.

Определитель

,

составленный из частных решений системы (2), называется определителем Вронского. Для того, чтобы матрица (3), где   - частные решения системы уравнений (2), была фундаментальной, необходимо и достаточно, чтобы   при  . При этом общее решение векторного уравнения (2') представляется в виде

,

где C - произвольный постоянный вектор. Общее же решение уравнения (1') будет

,

где   - какой-нибудь вектор, являющийся частным решением уравнения (1').

Путем исключения неизвестных систему всегда можно свести к уравнению более высокого порядка с одной неизвестной функцией. Этот метод удобен для решений несложных систем.

Пример 1. Решить систему дифференциальных уравнений

Решение.

Разрешив первое уравнение относительно y и подставив во второе уравнение системы, получаем

.

Корни характеристического уравнения   есть  . Следовательно, общее решение последнего уравнения будет

.

Подставив значение x в первое уравнение системы, найдем

.

Для решения системы  , где x - вектор, A - матрица:

,

надо найти корни характеристического уравнения

.

Если для кратного корня  имеется столько линейно независимых собственных векторов  , какова его кратность, то ему соответствует решение  .

Если для корня   кратности k имеется только m линейно независимых собственных векторов, и  , то решение, соответствующее этому  , можно искать в виде произведений многочлена степени k-m на  , т.е. в виде

                                                                                                                         (4)

Чтобы найти коэффициенты a,b,...,s, надо подставить решение (4) в исходную систему. Приравняв коэффициенты подобных членов в левой и правой части уравнений, получим систему линейных алгебраических уравнений относительно a,b,...,s. Надо найти общее решение этой системы, коэффициенты a,b,...,s должны зависеть от kпроизвольных постоянных, где k - кратность корня .

Найдя для каждого  решения указанного вида и сложив их, получим общее решение исходной системы.