17) Решение слау прямоугольного вида (mxn). Общее и частное

Описание общего решения

В каждой строке приведенной СЛАУ есть ведущий элемент. Неизвестные, отвечающие ведущим элементам, назовем связанными, остальные неизвестные — свободными. Например, если дана приведенная расширенная матрица  , то связанными неизвестными в соответствующей СЛАУ будут   и  , а свободными   и  .

Так как в каждом уравнении приведенной СЛАУ содержится только одно связанное неизвестное, хотя и определяемое неединственным способом, отсутствующее в остальных уравнениях, то придавая свободным неизвестным произвольные значения, мы единственным образом определяем значения связанных неизвестных, а, значит, и решение СЛАУ. Ясно, что при наличии свободных неизвестных СЛАУ будет неопределенной и имеет бесчисленное множество решений.

Описание общего решения дается следующим образом. Пусть, например переменные   связанные, а переменные   свободные, тогда матрица приведенной СЛАУ (с точностью до отброшенных нулевых строк) имеет вид

(4)

Здесь, не нарушая общности, мы считаем, что ведущие элементы равны 1. Этого всегда можно добиться с помощью элементарных преобразований 2-го типа. Сама приведенная СЛАУ имеет вид:

(5)

а формулы, выражающие связанные переменные через свободные, принимают вид

(6)

Иногда последние формулы называют общим решением исходной СЛАУ.

Однако, строго говоря, общим решением исходной СЛАУ является вектор

(7)

где   — произвольные действительные числа.

Для получения частного решения параметрам   в формуле (8) следует придать конкретные числовые значения.

В случае отсутствия свободных переменных  все   переменных являются связанными, матрица (4) приведенной СЛАУ имеет вид:

,

а сама система (6) имеет вид:

.

Поэтому СЛАУ является определенной, и ее единственное решение имеет вид  .

В приводимых ниже примерах необходимо выяснить, совместна ли система, а если да, то найти ее общее решение и несколько частных решений.

Теорема (о структуре общего решения). Пусть  , тогда:

• если  , где   — число переменных системы, то существует только тривиальное решение;

• если  , то существует   линейно независимых решений рассматриваемой системы:  , причём её общее решение имеет вид:  , где   — некоторые константы.

Теорема (об общем решении неоднородных систем). Пусть   (т.е. система (2) совместна), тогда:

• если  , где   — число переменных системы (2), то решение (2) существует и оно единственно;

• если  , то общее решение системы (2) имеет вид  , где   — общее решение системы (1), называемое общим однородным решением,  — частное решение системы (2), называемое частным неоднородным решением.

ЧАСТНОЕ РЕШЕНИЕ дифференциального уравнения - решение, получающееся из общего решения при некотором конкретном выборе произвольных постоянных