14) Слау. Матрично-векторная запись слау. Понятие решения слау. Классификация слау по наличию решений.

Системой линейных алгебраических уравнений, содержащей m уравнений и n неизвестных, называется система вида

Где числа aij называются коэффициентами системы, числа bij – свободными членами.

Система называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если она не имеет ни одного решения.

Совместная называется определенной, если она имеет единственное решение, и неопределенной, если она имеет более одного решения.

Если свободные члены всех уравнений равны нулю, то система называется однородной.

Метод Крамера

Метод Гауса

Приведение расширенной матрицы системы к ступенчатому виду с помощью элементарных преобразований и решение соответственной системы.

Матричный метод

Если ранг матрицы равен числу неизвестных, то однородная система имеет единственное нулевое решение; если меньше числа неизвестных, то однородная система имеет бесчисленное множество решений.

Рангом(обозначается r,r(A),rang(A)) матрицы называется наибольший из порядков миноров данной матрицы, отличных от нуля.

<=>

Рангом матрицы называется число линейно независимых строк.

Способы нахождения ранга матрицы:

1. Нахождение наибольшего(базисного) минора матрицы.

2. Приведение к каноническому виду(с помощью элементарных преобразований).

ТЕОРЕМА(1) Кронекера-Капелли.

Система линейных алгебраических уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг расширенной матрицы системы равен рангу основной матрицы.

Теорема(2). Если ранг совместной системы равен числу неизвестных, то система имеет единственное решение.

Теорема(3). Если ранг совместной системы меньше числа неизвестных, то система имеет бесчисленное множество решений.

Исследование однородных систем:

Однородная система всегда совместна.

Теорема: Для того чтобы система однородных уравнений имела ненулевые решения, необходимо и достаточно, чтобы ранг ее матрицы был меньше числа неизвестных.

Теорема: Для того чтобы система однородных уравнений имела ненулевые решения, необходимо и достаточно, чтобы ее определитель был равен нулю.

15) Критерии совместности слау

Теоре́ма Кро́некера — Капе́лли — критерий совместности системы линейных алгебраических уравнений:

Система линейных алгебраических уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг её основной матрицы равен рангу её расширенной матрицы, причём система имеет единственное решение, если ранг равен числу неизвестных, и бесконечное множество решений, если ранг меньше числа неизвестных Для того чтобы линейная система являлась совместной, необходимо и достаточно, что бы ранг расширенной матрицы этой системы был равен рангу ее основной матрицы.

Доказательство (условия совместности системы) Необходимость

Пусть система совместна. Тогда существуют числа  x1, xn такие, что . b=x1a1+…xnan

Следовательно, столбец b является линейной комбинацией столбцов a1….an матрицы A. Из того, что ранг матрицы не изменится, если из системы его строк (столбцов) вычеркнуть или приписать строку (столбец), которая является линейной комбинацией других строк (столбцов) следует, что rangA=rangB.