4)Эквивалентность двух определений линейной зависимости

Пусть М — произвольная система векторов про­странства. Эта система называется линейно независимой, если линейная комбинация векторов, принадлежащих системе, может быть равна нулю только в том случае, когда все коэффициенты равны нулю. В случае, если можно указать хотя бы одну линейную комбинацию векторов системы, коэффициенты которой не все равны нулю и которая тем не менее равна нулю, говорят, что данная си­стема линейно зависима.

Легко видеть, что если на плоскости взять любые два непарал­лельных вектора, то они будут линейно независимы: никакая их линейная комбинация с отличными от нуля коэффициентами не может

быть равна нулю. Такое же положение будет, если в «обычном» трёхмерном пространстве взять три вектора, не параллельные одной плоскости.

Наоборот, если на плоскости взять любую систему из трёх векторов, то она уже будет линейно зависимой: в этом случае хотя бы один из трёх векторов будет линейной комбинацией двух других, например a = klb-\-k2c. Но, перенося все члены этого равенства в одну часть, мы получим la — kxb— k2c = 0. А это означает, что нашлась линейная комбинация данных векторов, кото­рая равна нулю, несмотря на отличие от нуля её коэффициентов (коэффициент 1 при векторе а, очевидно, отличен от нуля).

Только что проведённое рассуждение позволяет доказать сле­дующую простую, но важную теорему.

Теорема. Система векторов, содержащая более одного эле­мента, линейно зависима тогда и только тогда, когда хотя бы один из её векторов представляется линейной комбинацией остальных.

Таким образом, содержащееся в формулировке этой теоремы условие почти эквивалентно первоначальному определению линейной зависимости. Некоторым дефектом этого условия является лишь то, что оно не может быть применено к одному вектору: если система состоит из одного вектора, то говорить о его выражении через «остальные» нельзя без некоторой натяжки; в то же время гово­рить о линейной зависимости или линейной независимости такой системы в смысле нашего определения можно, так как можно рас­сматривать линейные комбинации векторов, состоящие из одного слагаемого.

Именно, возможность применять первоначальное определение без каких-либо оговорок делает его более удобным.

5)Лемма о линейной зависимости системы векторов, содерж нулевой вектор

6)Лемма о линейно независимости диагональной системы векторов

7)Базис и ранг векторов

Максимально независимой подсистемой системы векторов называется частичный набор век-ов этой сис-мы,удовл двум усл-иям:

1)век-ры этого набора линейно независимы 2)любой вектор системы линейно выражается через векторы этого набора

ТЕОРЕМА: Все максимально независимые подсистемы данной сис-мы век-ов содерж. Одно и то же число векторов. Максимально независимая подсистема системы векторов наз-ся ее базисом; векторы, входящие в базис, назыв-ся базисными векторами. Будем называть рангом системы векторов число векторов ее базиса. Понятно,что если ранг сис-мы векторов меньше числа k ее векторов,то она может иметь несколько базисов.

Всякая сис-ма век-ов пр-ва R ⁿ,содержащ более n векторов, явл линейно завис.

Понятие базиса распростр и на прост-во R ⁿ,кот явл сис-мой, содержащ всю бесконечную совокупность n-мерных векторов.

Сис-ма векторов наз-ся базисом пространства R ⁿ,если

1)векторы этой сис-мы линейно независимы

2)всякий вектор из R ⁿ линейно выражается через век-ры данной сис-мы

ТЕОРЕМА: линейно независимая сис-ма векторов в R ⁿ явл базисом тогда и только тогда,когда число век-ов этой сис-мы равно n.