29. Степен. Ряды. Т-ма Абеля. Св-ва степ-х рядов.

Опр. Функцион. ряд вида (1) наз-ся степ. рядом

Наряду со степ. рядом будем рассм. (2)

Ряд (2) сх. в т. , (1) –

Т.(Абеля) Пусть степ. ряд (2) сх. в т. . Тогда он будет сх. абсолютно в любой т. , удовл. нер-ву и равномерно в обл.

Если ряд (2) расх. в нек. т. , то он будет расходиться в любой т. :

Из т-мы Абеля след., что обл. сходимости ряда (2) явл. промежуток (-R;R) или [-R;R), (-R;R], [-R;R].

Число R наз-ся радиусом сходимости степ. ряда. Применяя признаки Д'аламбера и Коши ,

Интервал (-R;R) наз-ют интервалом сходимости.

Для ряда (1) интервал сх-ти

Св-ва степ. рядов

1.Сумма степ. ряда есть ф-ция непрерывная в интервале сх-ти.

2.Степ. ряд можно почленно интегрировать по отрезку, сод. в интервале сх-ти. При этом получ. ряд будет иметь тот же радиус сх-ти, что и исходный.

3. Ст. ряд можно почленно диф-ть в интервале сх-ти любое число раз. Радиус сх-ти при этом не изменится.

30. Ряды Тейлора и Маклорена.

- ф-ла Тейлора

Пусть имеет в нек. окр-ти точки произв. всех порядков.

Опр. Степ. ряд наз-ся рядом Тейлора для в т. .

Если , то получим частный случай ряда Тейлора (2), кот. наз-ся рядом Маклорена.

Т.1. Для сх-ти ряда Тейлора к ф-ции необходимо и достаточно, чтобы .

Т.2. Если производные любого порядка ф-ции f ограниченыв окр-ти точки одной и той же постоянной k, то ряд Тейлора для ф-ции x из этой окр-ти.