23. Признаки д'аламбера и Коши

Т.1. Признак Д'аламбера. Если сущ. , то

1. ряд сходится

2. ряд расх.

Т.2.Признак Коши(радикальный)

Пусть . Тогда:

1. сходится

2. расх.

Т.3. Интегральный признак Коши

Пусть члены ряда (1) образуют невозраст. посл-ть и непрер. невозраст. ф-ция . Тогда ряд (1) и несобств. интеграл либо оба сходятся, либо оба расходятся.

Пр. (обобщенный гармонический)

- если - сход.

если - расход.

24. Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость

Пусть . (1) – знакопеременный, (2).

Т.1. Если ряд (2) сходится, то и ряд (1) сходится.

Опр.1. Знакопеременный ряд наз-ся абсолютно сход., если сходится ряд, сост. из модулей его членов.

Опр.2. Ряд (1) наз-ся условно сход-ся, если он сход., а ряд (2) расходится.

25.Знакочередующиеся ряды.Признак Лейбница

,

- знакочеред. ряд

Т.2.(признак Лейбница) Если для знакочеред. ряда (3) вып. усл.:

1.

2.

то ряд (3) сходится, при этом .

26.Свойства абсолютно и условно сходящихся рядов.

1. сх. абс. к S’,S’’ соответственно. Тогда сх. абс. к S’ S’’

2. сх. абс. к S => также сх. абс. к

3. сх. усл., тогда ряды, состощие только из полож. и только из отриц. Членов этого ряда расх.

4. ряд сх. абс., то он остается абс. сх-ся при любой перестановке его членов и сумма его при этом не измениться.

5. ряд сх. усл., то каким бы ни было число А, можно так переставить члены ряда, чтоб его сумма =А.

27.Понятие функционального ряда. Область сходимости.

Пусть есть посл-ть ф-ций f₁ (x), f₂ (x),…, f_n(x)

f₁ (x)+ f₂ (x)+…+ f_n(x)…(1) наз-ся функцион. Рядом

– числовой ряд, кот. может сх., может расх.

Опр.1 Мно-во всех значений x , при которых ряд (1) сх., наз-ся областью сх-ти этого ряда-D

Если сумма числ.ряда есть число в случае его сх., то сумма функц.ряда есть ф-ия.

Суммой функц. Ряда наз-ся ф-ия S(x)= , где = f₁ (x)+ f₂ (x)+…+ f_n(x)

Обл. опр. Ф-ии S(x) явл. обл. сх. ряда D.

Так же как и для числового ряда можно предст. функц. ряд

+

(1)сх.<=>

Ряд (1) наз. абс. сх., если сх. ряд

28.Равномерная сх-ть функц. Ряда. Св-ва равномерно сх-ся рядов.

Опр.1 Функцион. Ряд наз. равномерно сх. в обл. D к cумме S(x), если для любого полож. E найдется номер N(E)такой, что для и для вып.нер-во -S(x)|<E

S(x) , -S(x)|<E

, ( ) , -S(x)|<E.

Зам-е. Ряд(1) наз. равномерно сх. в обл. D, если для любого E>0, |r_n(x)|<E

Т.(Признак Вейерштрасса) Если все члены функц. Ряда (1) удовл. Нер-вам , , а ряд сх., то ряд (1) сх. абс. и равномерно в D.

Cв-ва равн. Сх. рядов:

1. Если ряд (1)сх. равн. На мн-ве D к и все члены ряда непрер. ф-ции, то ф-я S(x) также непрер. на мн-ве D.

2. Если члены равн. Сх-ся на мн-ве D непрер. на этом мн-ве, то данный ряд можно почленно интегрировать по любоиу отрезку [a,b] D

3. Пусть члены ряда (1) непрер. диф-мые в обл. F ф-ии, ряд (1) cх. В обл. D, а равн. сх. в обл. D, тогда ряд(1) также сх. равн. в обл. D, его сумма непрер. диф. Ф-ия и справедливо равенство (