1) Линейность:

2) транзитивность если т.С АВ, то:

3) .

4)Если линия АВ представляет собой замкнутый контур,то . Если по час. стрелке, направление «-», если против час.стрелки – напр-е «+».

13)Вычисление кри-2

Для вычисления КРИ-2 пользуются одной из приведённых ниже формул. Если кривая АВ задана ур-ем y= и при перемещении из точки А в точку В x меняется от а до b, то = если кривая АВ задана уравнением x=ψ(y) и при перемещении из точки А в точку В y меняется от с до d, то

17.ПИ-2.Осн. св-ва

Пусть дана двусторонняя поверхность S, обычно одну из сторон считают положительной S+ и другую отрицательной S-.

Опр. Двустор. поверхность на которой выбрана одна из сторон наз. Ортонормированной.

Пусть точка некоторой ориентированной поверхности S определены функцией P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z).

Разобьём поверхность S на элементарные части Si, выберем на каждой эл. части точку (xi,yi,zi), составим сумму: (1)

Сумма 1 наз. интегральной для ф-ий P,Q,R по координатам ориентированной поверхности S.

Если сущ. Конечный предел суммы 1 при n->∞ который не зависит ни от способа разбиения s на эл. части, ни от выбора точек на них, то он наз. поверхностным интегралом от ф-ий P,Q,R 2-го рода по s и обозн:

ПИ-2 сущ. если ф-ии P,Q,R непрерывны в т. поверхности S.

Св-ва: см. св-ва ПИ-1, кроме 5) (см. св-ва КРИ-1,11 вопрос, т.к. св-ва КРИ-1 подходят св-ам ПИ-1 )

18. 1) S: z=z(x,y), то есть она однозначно проецируется в области Dxy

где вектор нормалий имеет координаты:

то

Со знаком»+» если поверхность положительно ориентирована относительно оси oz.

2)S: y=y(x,z), то есть она однозначно проецируется в область Dxz на xOy имеет место ф-ла со знаком «+» если .

3)S: x=x(y,z), то есть она однозначно проецируется на yOz в область Dxz

, «+»

4) если S-замкнутая положительно-ориентированная поверхность, ограничивающая область и ф-ии P,Q,R непрерывны в области V имеет место форм – ф-ла Остроградского-Гауса.

15)Пи-1. Осн. Св-ва и физ. Смысл

Пусть в пр-ве переменных x,y,z задана двусторонняя гладкая поверхн. S (можно провести касательную с люб. точке).

1)Разобьём пов-сть S на n-элементарных поверхностей S_i , (i = ) ; ΔS_i–площадь i-ой элементарной части.

2) выберем на кажд. эелемент. части точку M(x_i,y_i,z_i)

3)составим сумму вида: (1) . где u=f(x,y,z)–некот-я ф-ия, опр-ая во всех т. пов-ти. Опр. Сумма (1) интегральная сумма для ф-ии f(x,y,z) по площади поверхности S. Пусть d–диаметр разбиения,тогда: Если сущ-ет конечный предел инт-ой суммы кот-ый не зависит ни от способа разбиения пов-ти S на элементарные части, ни от выбора точек внутри них, то он называется поверхностным инт-ом 1-го рода от f(x,y,z): = ; dS–элемент площади. Если f(x,y,z)=1, то S_s= . Дост.усл. сущ. ПИ-1: непрерывность ф-ии f(x,y,z).

Физ. смысл: Пусть по поверхн. S распределена масса с пл-тью

, тогда масса поверхности S будет равна m_S= .

Св-ва:Аналогичны свойствам КРИ-1 (11вопрос);

ПИ-1 независимы от выбора стороны пов-ти интегрирования.