10)Кри-1,геометр. И физ. Смысл
Пусть f=f(x,y) –определена во всех точках некоторой линии l на пл-ти xOy; + предполагаем, что l–гладкая.
y
B
M(xi,yi)
A
x
1)Разобьём линию l на n-элементарных частей (li). Δli –длина i-ой элементной дуги
2)Выберем внутри каждой эл-ой дуге т. Mi(xi,yi)
3)Составим
сумму вида :
(1)
Сумма
(1) –
интегральная сумма для функции f(x,y)
по длине дуги АВ. Пусть d–наиб-я
из
.
Если сущ-ет конечный предел при n→∞
(d→0)
интегральной суммы (1),
независящей ни от способа разбиения
дуги АВ, ни от выбора т. Mi,
то это криволинейный интегр. 1-го рода
от f(x,y)
по дуге АВ:
=
.
Если подынтегральная ф-ия равна 1, то
l=
;
Если линия интегр-ия представляет собой
замкнутую линию, тогда:
.
Достаточное
условие сущ-ия КРИ-1:непрерывность
ф-ии f(x,y)
во всех точках дуги AB.Геометр.
смысл: Рассм.
цилиндр. поверхн.; образующая паралл.
оси Oz.
Пусть пов-ть снизу огран-ся пл-стью xOy,
а сверху графиком ф-ии z=f(x,y).
S=
.
Физ.
смысл.КРИ-1:Пусть
вдоль линии АВ распределена некоторая
масса с известной плотностью
.
14.Ф-ла Грина.Условие нез-сти КРИ-2 от вида линии интегр-ия
Пусть
P(x,y)
и Q
(x,y)
непрерывны вместе со своими частными
производными ∂P/∂y,
∂Q/∂x
в некоторой области D
ограниченной L.
Тогда
(1)
– формула
Грина. Если в равенстве (1) положить
P(x,y)=0
и Q
(x,y)=х,
то
.
Аналогично:
.
Вычтем из 1 уравнения 2 и разделим на 2:
=
.
Если во всех точках выполняется условие
∂P/∂y=∂Q/∂x
(2), интеграл равен 0. (2) – условие
независимости КРИ2 от вида линии
интегрирования. Тогда можно интегрировать
след. обр.:
+
11. Основные св-ва кри-1. Вычисление кри-1
1)линейность:
2)
если
т.С
АВ, то:
3) если
во всех точках дуги АВ выполняется
,
то
4)
пусть
m=
,
,
тогда
,
где
-
длина дуги
5)
теорема
о среднем. Если ф.
непрер.
во всех точках дуги AB,
то
6)
Значение КРИ-1 не зависит от направления
обхода дуги АВ:
Вычисление КРИ-1зависит от способа задания дуги АВ
1. линия АВ задана ур-м y=y(x). (график функции).
2.
линия АВ задана ур-м x=x(y).
(график функции).
3.
линия АВ задана параметрически
12. КРИ-2, физ. смысл и основные св-ва.
Пусть
ф.P(x,y)
и Q(x,y)
определены в точках некоторой
кусочно-гладкой линии АВ. Дополнительно
задано ур-е обхода этой линии от А к В
(от В к А). 1) разобьем дугу АВ на n
элементарн. дуг. Обозначим ч/з
проекции -элем. дуги на оси Ox,
Oy.
2) Выберем внутри каждой элем. дуги
точку
.
3) Составим сумму вида
(1)
Опр. Сумма (1) наз-ся интегральн. суммой для ф. P(x,y), Q(x,y) по координатам вдоль дуги АВ.
Пусть
– диаметр разбиения.
Если
сущ-т конечный предел при
,
,
который не зависит ни от способа
разбиения дуги АВ на элем. дуги, ни от
выбора точек то он наз-ся КРИ-2 от ф.
P(x,y),
Q(x,y)
вдоль линии АВ и обозн-ся:
вдоль линии АВ – КРИ-2.
Физ.
смысл.
Если
- вектор силы, действ. на т. М линии АВ,
то работа, совершаемая этой силой по
перемещению этой точки из А в В численно
равна
.
Дост. усл-е сущ-я КРИ-2 – непрер-ть ф. P и Q во всех точках линии АВ.
Св-ва КРИ-2: