7)Вычисление 3-ых интегр. В прямоуг.Коорд.

Пусть  V является цилиндрическим телом, проекция которого на плоскость xOy есть область S и которое ограничено снизу поверхностью z=z₁(x,y) , а сверху поверхностью z=z₂(x,y), где z₁,z₂ – непрерывные функции. Тогда = , то есть интегрированием по z тройной интеграл сводится к двойному интегралу по области S. Для областей более сложной формы вычисление тройных интегралов производится разбиением областей на конечное число простых областей с уже рассмотренными свойствами.

1)Пространств. обл. V называется стандартн. отн-но оси Oz,если она ограничена снизу и сверху поверхн-ми z=z₁(x,y); z=z₂(x,y), а сбоку цилиндрической поверхностью, с образующей, параллельной оси Oz. =

I= ; I= .

2) Обл. V–стандартная отн-но оси Oy, если она ограничена слева и справа пов-ми y=y₁(x,z) , y=y₂(x,z), а сбоку цилиндр. поверхностью с образующей параллельной оси Oy. I=

I= .

8)Цилиндр-ие коорд. Вычисление 3-ых интегр. В цилиндр. Коорд.

Пусть дана обл. V в простр. O_xyz. Цилиндр. коорд. называют тройку чисел (r, ,z), где r и – полярн. коорд. проекции точки M(x,y,z) на пл-ть xOy, а z–аппликат точки M. Цилиндрические координаты r, ,z связаны с прямоугольными коорд. x,y,z следующими отношениями: x=rcos ; y=rsin ; z=z, (1) где r≥0; 0≤ ≤2π; -∞<z<+∞. При переходе от прямоугольных коорд. x,y,z к цилиндрическим коорд. r, ,z по формулам (1) якобиан преобразования J(r, ,z)=r, поэтому будет иметь место формула: ,z)rdrd , где rdrd –элемент объёма в сферических коорд.

Алгоритм вычисления :

1)Изображаем обл. V

2)Записываем ур-е поверхн-ей, огр-их V в цилиндр. коорд.

3)Проводим через обл. V прямую, параллельную оси Oz и определяем пределы изменения z. z_н=z_н(r, ), z_в=z_в(r, ).

4)изобр-ем в плоскости xOy проекцию обл. V и определяем пределы изменения переменных r и , так же, как при переходе к полярн. коорд.

5)расставляем пределы по след ф-ле: .

9.Сферические коорд.Вычисл. 3-ых интегр. В сферич. Коорд.

Точку М можно определить тремя значениями. θ-тройка чисел, которую называют сферическими координатами т очки М. ≥0, 0≤θ≤π, 0≤ ≤2π. Тогда x= cos sinƟ, y= sin sinƟ, z= cosƟ. J( ,Ɵ, )= ² sinƟ. = . Применяется, если есть сферы среди поверхностей, ограничивающих область и уравнения этих поверхностей содержат уравнения вида (x²+y²+z²)^k, k N.

Алгоритм вычисления:

1. Изображаем область V.

2. Записываем ур-ия поверхностей, ограничивающих ее в сф.коорд-х.

3. Определяем н.и в.пределы изменения . Для этого проводим из начала координат луч, пересекающий V. Если нач.коорд. Vили лежит на ее границе, нижнее=0. Если нет, определяем нижнее из ур-я поверхности, через кот.луч входит в V. _н= _н(Ɵ, ), _в= _в(Ɵ, ).

4. Определяем пределы изменения Ɵ, Ɵ ₁= Ɵ ₁( ), Ɵ ₂= Ɵ ₂( ).

5. Изобр. проекцию V на хОу и определяем пределы изменения ₁, ₂.

6. Расставляем пределы по след.формуле: = d . Если среди поверхностей, ограничивающих область имеются эллипсоиды x²/a²+y²/b²+z²/c²=1 или в ур авнениях этих поверхностей встречаются уравнения вида (x²/a²+y²/b²+z²/c²)^k, k N, то переходят к обобщенным сф.корд-м x= a cos sinƟ, y=b sin sinƟ, z=c cosƟ. J( ,Ɵ, )= abc ² sinƟ.