42.Свойства бесконечно малых функций.
Теорема: Если функция f(x) имеет предел А в точке x=a, то функция α(х)=f(x) – А является бесконечно малой в точке а.
Доказательство: действительно, из теоремы «Пусть функции f(x) и g(x) имеют в точке а пределы соответственно А и В. Точка функции f(x)±g(x), f(x)•g(x) и f(x)⁄g(x) имеют в точке а пределы, равные соответственно А±В, А•В и А⁄В» вытекает, что lim x→a α(x) = lim x→a f(x) – lim x→a A = А – А=0, откуда, согласно определению, следует, что α(х) – бесконечно малая функция в точке а.
Мы получаем специальное представление для функций, имеющих предел в точке х=а, через бесконечно малую функцию: f(x) = A + α(x)
Теорема: Алгебраическая сумма и произведение конечного числа бесконечно малых функций в точке а, как произведение бесконечно малой на ограниченную функцию, является бесконечно малыми функциями в точке а.
43. Правила сравнения бесконечно малых и бесконечно больших функций.
Свойство 1.
Произведение бесконечно малой функции
для всех x, удовлетворяющих условию
Поскольку функция
является бесконечно малой при
,
то для любого произвольно малого числа
ε > 0 существует такое число
выполняется для всех x, удовлетворяющих условию
Выберем из чисел и наименьшее и обозначим его символом δ. Тогда условие
является более сильным, чем условия (5) и (7) и поэтому влечет неравенства (4) и (6). Таким образом, для любого произвольно малого числа ε > 0 выполняется неравенство
для всех x из δ-окрестности точки a. Свойство
2. Сумма
двух бесконечно малых функций есть
функция бесконечно малая.
Доказательство.
Пусть ε > 0 – произвольно
малое число;
и
и
влекут за собой соответствующие неравенства
и
Если
Следствие. Сумма любого конечного числа бесконечно малых функций есть функция бесконечно малая. Действительно, объединяя элементы такой суммы в группы по два слагаемых и заменяя сумму двух бесконечно малых одной бесконечно малой, получим сумму меньшего числа членов. В конечном итоге сумма любого конечного числа бесконечно малых будет сведена к одной бесконечно малой. |
||||||||||||||||||||||||||||
|
при 
и функции 
,
ограниченной в некоторой 
-окрестности
точки a,
есть функция бесконечно малая.
Доказательство.
Функция
является ограниченной в некоторой
окрестности точки a
и, следовательно, существует такое
число B > 0,
что
,
что неравенство
– бесконечно малые функции при 
.
Тогда существуют такие положительные
числа
и
,
что условия
,
то условие
перекрывает оба условия (9) и (10) и,
следовательно,
