36. Понятие производной. Геометрический и экономический смысл производной.

О: Приращением функции Y=f(x) в точке X0, отвечающим приращению аргумента X, будем называть число Y=f(X0+X) – f(X0).

О: Производной функции Y=f(x) в данной точке X0 называется предел при X0 отношения приращения функции к приращению аргумента. При условии, что он существует – конечная производная. Если он равен бесконечности, то функция имеет бесконечную производную. Если функция имеет конечную производную в каждой точке множества Х, то можно рассматривать производную как функцию определенную на множестве Х.

О: Геометрический смысл производной состоит в том, что значение производной функции в точке равно угловому коэффициенту касательной в этой точке.

Касательной к графику функции Y=f(x) в точке М называется предельное положение секущей МN, когда точка N стремится к точке М по кривой f(x).

Теорема:Если функция Y=f(x) имеет в точке Х0 производную, то существует касательная к графику Y=f(x) в точке М(X0, f(X0)), угловой коэффициент касательной K=tg  0 = f ’(X0).

Док-во: Проведем прямую MN || OX, тогда PN || OY, MN=X, PN=Y, PMN=  tg (X) = Y/X =  (X) =arctg Y/X. Перейдем к пределу при X0. Так как существует производная f ’(X0), то существует и предел lim Y/X=f ’(X0) и так как функция arctg Y/X непрерывна  существует предел правой части равенства:

lim arctg Y/X= arctg (lim Y/X)=arctg f ’(X0).  Существует предел и левой части равенства. Получаем lim (X) = arctg f ’(X0).  Существует предельное положение секущей РМ, т. е. существует касательная к графику функции Y=f(x) в точке А(X0, f(X0)), причем угол наклона этой касательной к оси ОХ равен arctg f ’(X0) и, значит, угловой коэффициент касательной tg  0= f ’(X0).

Э кономический смысл производной — Производительность труда есть производная объема продукции по времени. Производная выражает предельные (маргинальные от английского «marginal») издержки производства.

37. Понятие дифференцируемости функции. Необходимое и достаточное условие дифференцируемости функции в точке.

О: Функция Y=f(x) называется дифференцируемой в точке X0, если ее приращение Y в этой точке можно представить в виде Y=AX+(X)X, где А – некоторое число, не зависящее от X, а (X) – функция аргумента X, являющаяся бесконечно малой при X0, т. е. lim (X)=0.

Теорема: Для того, чтобы функция Y=f(x) была дифференцируема в точке X0, необходимо и достаточно, чтобы она имела в этой точке конечную производную.

Док-во: Необходимость: Докажем сначала, что функция Y=f(x) была дифференцируема, т.е. пусть дано, что в точке х0, и нужно доказать, что она имеет производную в этой точке. Тогда приращение функции Y, обусловленное приращением аргумента X, можно представить в виде уравнения Y=AX+(X)X; поделив это равенство на X≠0, получим Y/X=А+(X). Переходя к пределу при X0, имеем lim (Y/X)=lim (А+(X))=A.  Производная в точке X0 существует и f ’(X0)=А.

Достаточность: Пусть существует конечная производная f ’(X0), т. е. lim (Y/X)= f ’(X0). Обозначим f ’(X0)=А, тогда функция (X)=Y/X - А является бесконечно малой при X0. Из последнего равенства имеем Y=AX+(X) X, где lim (X)=0. Получено представление Y=AX+(X)X.  Функция Y=f(x) дифференцируема в точке X0.