23. Бесконечно малые и бесконечно большие ф-и.

1.Функция называется бесконечно малой в точке х=а, если предел этой функции в точке а равен 0.

2.на языке 

Функция (х) называется бесконечно малой в точке х=а, если для любого положительного числа >0 существует >0 такое, что для всех хХ, удовлетворяющих условию 0<|x-a|< выполняется неравенство |(x)|<

3. на языке послед-ти.

Функция (х) называется бесконечно малой в точке х=а, если для любой сходящейся к а последовательности значений Х, отличных от а, соответствующая последовательность значений функции ( х_n ) является бесконечно малой.

Функция A(x) называется бесконечно большой в точке х=а, если для любого положительного числа >0 существует положительное число  такое, что для всех хХ, удовлетворяющих условию 0<|x-a|< выполняется неравенство |a(x)|>

Функция А (х) называется бесконечно большой в точке а, если для любой сходящейся к а последовательности x_n, значений аргумента X, соответствующая последовательность значений функции A( x_n ) является бесконечно большой последовательностью.

Теорема о связи бесконечно малой и бесконечно большой функции Функция обратная бесконечно малой является бесконечно большой и наоборот. Замечание: частное двух бесконечно малых функций может являться как функцией бесконечно малой, так и бесконечно большой и ограниченной.

24. Сравнение бесконечно малых ф-й.

Пусть (х) и (х) две функции заданные для одних и тех же значений аргумента и обе являются бесконечно малыми в точке х=а.

1.говорят, что (х) является в точке а бесконечно малой более высокого порядка, чем (х), если lim

^ха

α(x)\β(x) =0

2. (х) и (х) являются бесконечно малыми одного порядка в точке а, если lim α(x)\β(x) = a ,.

^ха

где а – конечное отличное от 0 число.

3. (х) и (х) являются в точке а эквивалентными бесконечно малыми, если lim α(x)\β(x) = 1 .

^ха

α(x)~β(x)

25. Три определения непрерывности функции в точке.

Определение 1: Функция f(x) называется непрерывной в точке x=0, если lim f(x) =f(x₀), при х0

Замечание: Если f(x) непрерывна в точке x, то она определена и существует в точке x. Если lim x =x₀, то lim f(x) = f(x₀) = f(lim x).

Определение по Гейне.

Функция f(x) называется непрерывной в точке x₀, если для любой п-ти значение аргумента {x_n} сходящейся к х₀ соответствующая п-ть значений ф-и {f(x_n)} cходится к числу f(x₀).

Определение по Коши

Функция f(x) называется непрерывной в точке х₀, если для любого >0 существует такое >0, что при всех х, удовлетворяющих условию |x – х₀| , выполняется неравенство |f(x) – f(х₀)|<. ( >0  : x, |x – х₀|<: |f(x) – f(х₀)|<).

Функция f(x) называется непрерывной справа (слева) в точке х₀, если lim f(x) =f(х₀) при х0⁺ (х0^-)

Ф-ция явл непрерывной в т. х₀, если она непрерывна в этой точке как справа, так и слева.