7. Бесконечно-малые и –большие последовательности. Теория связи между б. М. И б. Б. Посл-ми.

Последовательность называется бесконечно большой, если для любого положительного числа А существует номер n₀ такой, что все эл-ты послед-ти с номерами большими n₀ удовлетворяют неравенству |x_n | > А

(А>0 )( n₀₌ n₀(A)N: n>n₀ |x_n|>A.

Любая б.б. посл-ть явл-ся неогр-ой, но неограниченная послед-ть может и н ебыть б.б.. Посл-ть называется бесконечно малой, если для любого положительного числа ε существует номер n₀ такой , что все эл-ты послед-ти с номерами большими n₀ удовлетворяют неравенству |x_n|< ε

(ε >0)(  n₀ = n₀ (A) N : n>n₀ |x_n |< ε

. Теорема: 1) Если {Xn}- б. б. посл-ть и все ее эл-ты отличны от 0, то послед-ть {1/Xn}-б. м.

2) Если {Xn}- б.м. посл-ть и все ее эл-ты отличны от 0, то послед-ть {1/Xn}- б. б.

Док-во. 1) пусть{Xn}- б. б. посл-ть. Возьмём любое ε>0, положим А=1/ε. Рассмотрим нер-во |1/Xn|=1/|Xn|<1/A=ε, таким образом имеем |1/x_n|<ε, значит последовательность {1/Xn}- бесконечно малая.

:

ЗАМ::

Алгебр

ЗАМ:

8. Свойства БмП

.

ТЕОР1: Сумма и разность двух бесконечно малых последовательностей – последовательность бесконечно малая.

Док-во.

Пусть {α_n} и{β_n}-б.м.п.

Докажем,что послед-ть { α_n ±β_n }-б.м.п.

Пусть ε- произв. Положительное число.

N₁ - номер,начиная с которого для всех эл-в послед-ти {α_n} выполняется неравенство | α_n |< ε\2 , а N₂ -номер,начиная с которого для всех эл-в послед-ти {β_n} выполняется неравенство | β_n | < ε\2

Такие номера N₁ и N₂ существуют по определению б.м.п.

Возьмем N=max {N₁, N₂}. Тогда для всех эл-в послед-ей {α_n} и{β_n} с номерами большего этого номера N ,будут одновременно выполняться неравенства | α_n |< ε\2 и | β_n | < ε\2.

След-но,для всех таких эл-в имеем | α_n± β_n |≤| α_n |± | β_n |< ε\2+ ε\2= ε. А это означает, что послед-ть { α_n ±β_n }-б.м.п.

Теорема доказана.

Следствия из этой теоремы алгебраическая сумма любого конечного числа б.м.п.есть б.м.п.

ТЕОР2: Произведение 2-х б.м.п. есть послед-ть б.м.

Док-во.

Пусть {α_n} и{β_n}-б.м.п.

Докажем,что послед-ть { α_n *β_n }-б.м.п, т.к. {α_n}- б.м.п., то для любого ε>0 существует N₁ -номер такой, что все эл-ты послед-ти {α_n} с номерами большими N₁ удовлетворяют неравенству | α_n |< ε. Т. к. {β_n}-б.м.п., то для ε=1 существует номер N_2, такой, что все эл-ты послед-ти ти {β_n} выполняется неравенство | β_n | <1

Возьмем N=max {N₁, N₂}. Тогда для всех эл-в послед-ей {α_n} и{β_n} с номерами большего этого номера N ,будут одновременно выполняться неравенства и след-но,для всех таких эл-в имеем | α_n* β_n |=| α_n |* | β_n |< ε*1= ε. А это означает, что послед-ть { α_n *β_n }-б.м.п. Теорема доказана.

Следствие из этой теоремы произведение любого конечного числа б.м.п есть послед-ть б.м.

ТЕОР4: Произведение ограниченной последовательности на бесконечно малую – последовательность бесконечно малая.

Произведение б.м.п. на число есть послед-ть б.м.

ЗАМ: Частное двух бесконечно малых последовательностей - не всегда последовательность бесконечно малая.