- •1. Множества: основные понятия и определения. Способы задания множества.
- •2.Грани числ-х множ-в. Св-ва точных граней.
- •3Теорема о сущ-ии точной верхней и точной нижней грани.
- •4. Открытые и замкнутые множества. Компактность множества. Отображение.
- •4. Открытые, замкнутые множества, компактность множества, отображение.
- •5. Числовые последовательности и арифметические действия над ними.
- •7. Бесконечно-малые и –большие последовательности. Теория связи между б. М. И б. Б. Посл-ми.
- •8. Свойства БмП
- •9. Сходящиеся последовательности.
- •12. Предельный переход в неравенствах.
- •15. Число е
- •16. Теорема о вложенных промежутках.
- •17. Понятие функции. Способы задания функции.
- •18. Предел функции в точке. Правый, левый пределы функции( по Гейне и по Коши)
- •19. Предел ф-и на бесконечности( по Гейне и по Каши)
- •23. Бесконечно малые и бесконечно большие ф-и.
- •24. Сравнение бесконечно малых ф-й.
- •25. Три определения непрерывности функции в точке.
- •26. Точки разрыва функции. Их классификация.
- •27. Арифметические операции над непрерывными функциями.
- •28. Теорема об устойчивости знака непрерывной функции.
- •29. Первая теорема Больцано-Коши
- •30. Вторая теорема Больцано-Коши.
- •31. Понятия точной верхней и точной нижней граней функции
- •32. Первая теорема Вейерштрасса
- •33. Вторая теорема Вейерштрасса
- •34. Понятие сложной функции. Непрерывность сложной функции.
- •35. Понятие обратной функции. Непрерывность обратной функции.
34. Понятие сложной функции. Непрерывность сложной функции.
Если на некотором промежутке Х определена функция z = φ (х) с множеством значений Z,
а на множестве Z определена функция у = f(z), то функция у = f[φ(x)] называется сложной функцией или суперпозицией функций.
ТЕОР: Пусть функции z=(x) непрерывна в точке х0, а функция y=f(z) непрерывна в точке z0=(x0). Тогда сложная функция y=f((x)) непрерывна в точке х0.
Док-во: Пусть {Xn} – любая последовательность из множества Х, сходится к точке х0. Т. к. функция z=(x) непрерывна в точке х0, соответствующая последовательность точек {Zn}сходится к точке z0, или lim zn=lim φ(xn)= φ(x0)= z0. В силу непрерывности функции f(z) в точке z0 имеем lim f[(хn)] = f[(х0)]. Получаем, что предел функции f[(x)] в точке х0 равен значению функции в этой точке. Функция y=f((x)) непрерывна. Ч.т.д.
35. Понятие обратной функции. Непрерывность обратной функции.
Опр: Пусть на множестве Х задана функция f(x), причём Y – множество ее значений, т.е. задано множество пар чисел (х,у) (х Х, у У), в котором каждое число х входит лишь в одну пару, а каждое число у – по крайней мере в одну пару. Если в каждой паре этого множества поменять местами числа х и у , то получим множество пар чисел (у,х), которое называется обратной функцией к функции f(x). Графики взаимно-обратных ф-ций симметричны относительно y=x и имеют одинаковый характер монотонности.
ТЕОР: Пусть функция Y=f(x) определена, строго монотонна и непрерывна на некотором промежутке Х и пусть У – множество ее значений. Тогда на множестве У обратная функция x=(y) однозначна, строго монотонна и непрерывна.