1. Множества: основные понятия и определения. Способы задания множества.

Множество – совокупность объектов любой природы, обладающих определенным свойством. Объекты, образующие множество называются элементами или точками множества.

Множество может содержать конечное или бесконечное число.

Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым множеством. Если множества А и В состоят из одних и тех же эл-в,то говорят, что множества совпадают. Если каждый элемент множества А принадлежит множеству В, то множество А называется подмножеством множества В (А В). 1⁰Любое множество является подмножеством самого себя(А А). 2⁰Пустое мн-во явл подмножеством любого множества(Ø А). Способы задания множеств: 1) перечисление элементов(N={1,2,3…n}); 2) описание свойств элементов (X={xX | P(x)}). (N-натур, Z-целые, Q-рациональные, I-иррац, R-действит)

Операции над множествами (диаграмма Эллера). Свойства операций.

U-универсальное множество, которое содержит все остальные множества. Пусть АU, ВU. Пересечением 2-х множеств А и В называют множество С, которое состоит из эл-в , принадлежащих как множеству А , так и множеству В. С= А∩В ={x| x  A и Х  В}.

Объединением 2-х множеств А и В называют множество С, состоящее из эл-в, принадлежащих хотя бы одному из множеств А или В. С= АUВ ={x| x  A или Х  В}.

Разностью 2-х множеств А и В называют множество С, состоящее из эл-в, принадлежащих множеству А и не принадлежащих множеству В. С= А-В ={x| x  A и х∉ В}

Свойства:

1. А∩В=В∩А- коммутативность

2. АUВ=ВUA-коммутативность

3. (АUВ)UC=AU(BUC)-ассоциативность

4. (A∩B)∩C=A∩(B∩C)ассоциативность

5. (AUB)∩C=(A∩C)U(B∩C)дистрибутивность

6. (AUC)∩(BUC)=(A∩B)UC-дистрибутивность

7. Ø = U; U’= Ø ;

8. AU Ā =U; A∩A’= Ø

9. AU Ø=A; A∩ Ø= Ø

10. AUA=A;A∩A=A

2.Грани числ-х множ-в. Св-ва точных граней.

Множество Х ограничено свреху, если сущ-т число С такое, что для любого хэХ вып-я нер-во х≤c, при этом число С называют верхней грантью множества Х .

Множество Х ограничено снизу, если сущ-т число С такое, что для любого хэХ вып-я нер-во с≤х

Множ-во огранич-е сверху или снизу –ограниченное. Любое огр-е сверху имеет беск-е множ-во верхних граней. Наименьшая из верхних граней-точная верхняя supX. Наибольшая из нижних inf x. Св-во точной верхней ( нижней грани): Если множество Х ограниченно сверху,то наименьшую из верхних граней называют точной верхней гранью множества Х . sup X= sup x.

Если множество ограниченно снизу, то наибольшую среди его нижних граней называют точной нижней гранью множества Х. inf X=inf x .

Замечание! Точная вернхняя(нижняя) грань может принадлежать множеству,а может и не принадлежать, в случае когда она принадлежит множеству, говорят, что множество достигает точной верхней(нижней) грани.

Множеств Х называют ограниченным, если существует положительное число d такое, что все эл-ты хХ удовлетворяют неравенству |x|≤d

Замечание! По определению считают, если множество Х неограниченно сверху, то sup x= +∞.

Если множество Х неограниченноснизу, то inf x= -∞.

.