6.1.4. Оценки параметров генеральной совокупности по ее выборке

Оценка параметров распределения случайной величины Х по данным выборки является одной из задач статистики.

Для вычисления параметра (обозначим его через Θ) изучить все элементы генеральной совокупности (которую теоретически считают бесконечной) не представляется возможным. Обычно в распоряжении исследователя имеются лишь данные выборки генеральной совокупности, например, значения количественного признака х₁, х₂, …, х_n, полученные в результате n наблюдений (здесь и далее наблюдения предполагаются независимыми). Через эти данные и выражают оцениваемый параметр.

Определение 6.1.18. Оценкой параметра Θ называют всякую функцию результатов наблюдений над случайной величиной Х (иначе – статистику), с помощью которой судят о значении оцениваемого параметра:

.

Определение 6.1.19. Несмещенной называется такая оценка , математическое ожидание которой равно оцениваемому параметру Θ, т.е.

,

в противном случае оценка называется смещенной.

Определение 6.1.20. Состоятельной называется такая оценка параметра Θ, что для любого наперед заданного числа ε > 0 вероятность Р(| –Θ|< ε)1 при n .¹

Это значит, что при достаточно больших n можно с вероятностью, близкой к 1 утверждать, что оценка отличается от оцениваемого параметра Θ меньше, чем на ε. Поэтому на практике имеет смысл использовать только состоятельные оценки.

Чем меньше дисперсия оценки, тем меньше вероятность грубой ошибки при определении приближенного значения параметра. Поэтому необходимо, чтобы дисперсия оценки была минимальной. Оценка, обладающая таким свойством, называется эффективной.

6.1.4.1. Точечные оценки основных числовых характеристик генеральной совокупности

В качестве точечных оценок параметров генеральной совокупности используются соответствующие выборочные характеристики.

Утверждение 1. Выборочная средняя есть несмещенная и состоятельная оценка генеральной средней М(Х).

Утверждение 2. Выборочная дисперсия есть смещенная и состоятельная оценка генеральной дисперсии D(Х).

Отметим, что выборочная дисперсия (в среднем, полученная по разным выборкам) занижает генеральную дисперсию. Поэтому, заменяя D(Х) на , мы допускаем систематическую погрешность в меньшую сторону. Чтобы ее ликвидировать вводят так называемую, «исправленную» выборочную дисперсию

.

Утверждение 3. «Исправленная» выборочная дисперсия является несмещенной и состоятельной оценкой генеральной дисперсии D(Х).

Пример 6.1.8. По данным примера 6.1.3. найти а) несмещенную и состоятельную оценку генеральной средней, б) смещенную и несмещенную состоятельные оценки дисперсии случайной величины Х – массы изделия.

○ а) Несмещенной и состоятельной оценкой генеральной средней согласно утверждению 1 является выборочная средняя, из примера 6.1.3. .

б) Смещенной и состоятельной оценкой генеральной дисперсии (утверждение 2) является выборочная дисперсия (см. пример 6.1.6.).

Несмещенной и состоятельной оценкой генеральной дисперсии (утверждение 3) является «исправленная» выборочная дисперсия .●

Утверждение 4. Для оценки генерального среднего квадратического отклонения используют «исправленное» среднее квадратическое отклонение, которое равно корню квадратному из «исправленной» дисперсии:

.