6.1.3.2. Показатели вариации

Поскольку рассмотренные средние величины не отражают изменчивости (вариации) значений признака, введем следующие понятия.

Определение 6.1.10. Простейшим (и весьма приближенным) показателем вариации является вариационный размах R, равный разности между наибольшим и наименьшим вариантами ряда:

R=x_max – x_min.

Наибольший интерес представляют меры вариации (рассеяния) наблюдений вокруг средних величин, в частности, вокруг средней арифметической.

Определение 6.1.11. Дисперсией статистического ряда распределения называется средняя арифметическая квадратов отклонений вариант от их средней арифметической:

(6.1.2)

.

Дисперсию часто называют эмпирической или выборочной, подчеркивая, что она (в отличие от дисперсии случайной величины) находится по опытным или статистическим данным.

Определение 6.1.12. Среднее квадратическое отклонение вычисляется как корень квадратный из дисперсии:

(6.1.3)

Среднее квадратическое отклонение используют, когда в качестве меры вариации (рассеяния) желательно иметь характеристику, выраженную в тех же единицах, что и значения признака.

Определение 6.1.13. Коэффициент вариации равен процентному отношению среднего квадратического отклонения к средней арифметической:

(6.1.4)

.

Пример 6.1.6. Вычислить дисперсию, среднее квадратическое отклонение и коэффициент вариации распределения массы изделий по данным примера 6.1.3.

○ В примере 6.1.3. было найдено , поэтому, по определению дисперсии:

Среднее квадратическое отклонение будем искать по формуле (6.1.3): .

Коэффициент вариации по формуле (6.1.4) равен: . ●

6.1.3.3. Начальные и центральные моменты статистического ряда распределения

Средняя арифметическая и дисперсия являются частными случаями более общего понятия – моментов статистического ряда распределения.

Определение 6.1.14. Начальный момент k-го порядка статистического ряда распределения определяется по формуле:

(6.1.5)

.

Очевидно, что средняя арифметическая является начальным моментом первого порядка статистического ряда распределения, т.е. .

Определение 6.1.15. Центральный момент k-го порядка статистического ряда распределения определяется по формуле:

(6.1.6)

.

Отметим, что центральный момент первого порядка для любого распределения равен нулю, а центральный момент второго порядка является дисперсией статистического ряда распределения: , а .

Определение 6.1.16. Коэффициентом асимметрии статистического ряда распределения называется число

(6.1.7)

.

Если , то распределение имеет симметричную форму, т.е. варианты, равноудаленные от х имеют одинаковую частоту. При ( ) говорят о положительной или правосторонней (отрицательной или левосторонней) асимметрии.

Определение 6.1.17. Эксцессом (или коэффициентом эксцесса) статистического ряда распределения называется число

(6.1.8)

.

Эксцесс является показателем «крутости» статистического ряда распределения по сравнению с нормальным распределением, так как эксцесс нормально распределенной случайной величины равен нулю.

Если ( ), то полигон статистического ряда распределения имеет более крутую (пологую) вершину по сравнению с нормальной кривой.

Пример 6.1.7. Вычислить коэффициент асимметрии и эксцесс распределения массы изделий по данным примера 6.1.3.:

Х	23	25	27	28	29	30	31	32	33	34	36
ni	1	2	1	2	1	5	2	2	1	1	2

○ Коэффициент асимметрии и эксцесс найдем по формулам (6.1.7), (6.1.8) и найденных в примерах 6.1.3. и 6.1.6. и :

;

=2,028.

В силу того, что коэффициент асимметрии отрицателен и близок к нулю, распределение массы изделий обладает незначительной левосторонней асимметрией, а поскольку эксцесс значительно больше нуля, то рассматриваемое распределение отличается от нормального и его полигон имеет более крутую вершину по сравнению с нормальной кривой. ●