50.Отключение цепи с индуктивностью от источника постоянного напряжения.

Рассмотрим отключение цепи R, L от источника постоянного напряжения. Пусть в электрической цепи (рис. 3.3) в момент времени t=0 переключатель переключается из положения 1 в положение 2. После коммутации электрическое состояние цепи описывается уравнением

Характеристическое уравнение: ,

корень характеристического уравнения . На основании (3.4) свободный ток

,

где – постоянная времени.

Установившийся ток i_y(t)=0, тогда согласно (3.5), переходный ток

.

По первому закону коммутации: i(0_-)=i(0₊). Т.к. i(0_-)=I₀, где I₀=U/R_к – ток в цепи до коммутации, следовательно,

. (3.8)

На рис. 3.4 показана зависимость переходного тока от времени при отключении R, L цепи от источника постоянного напряжения.

51.Включение r,l на синусоидальное напряжение.

u = U_msin(ωt + ψ),

то установившийся ток

i_у = U_m / Z sin(ωt + ψ - φ),

где: – полное сопротивление цепи; φ = arctg(ω L/R) - угол сдвига фаз между напряжением и током.

С вободный ток определяется

i_св = A e^-t/τ.

Суммируя установившуюся и свободную составляющие, получим выражение для переходного тока:

i = i_у + i_св = U_m / Z sin(ωt + ψ - φ) + A e^-t/τ.

Рис. 5.7

используя независимые начальные условия при t = 0

i(0_-) = i(0₊) = 0,

находим постоянную интегрирования:

A = -U_m / Z sin(ψ - φ).

Тогда переходный ток:

.

Зависимости переходного тока от времени при различных значениях разностей ψ - φ показаны на рис. 5.7. Их анализ позволяет сделать следующие выводы.

Если в момент включения установившийся ток равен нулю (ψ - φ = 0 или ψ - φ = π), то свободной составляющей тока не возникает и в цепи сразу возникает установившийся режим:

i = i_у = I_m sin(ωt) = U_m / Z sin(ωt).

Если в момент включения установившийся ток имеет наибольшее значение (ψ - φ = π / 2), свободный ток достигает максимального по модулю значения приблизительно через половину периода, однако ни при каких условиях он не может превышать удвоенной амплитуды установившегося тока (рис. 5.7 б).

5 2.Переходные процессы при включении R,C на постоянное напряжение. Предположим, что в момент времени t=0 цепь, состоящая из сопротивления R и емкости С, включенных последовательно, включается на постоянное напряжение U (рис. 3.5). По второму закону Кирхгофа

u_R+u_c=U.

Так как , , уравнение будет иметь вид

.

Характеристическое уравнение:

RCp+1=0

имеет один корень . Тогда, на основании (3.4), можно записать выражение для свободного напряжения на емкости ,

где τ=RC – постоянная времени.

Емкость не проводит постоянный ток, поэтому в установившемся режиме i_cус(t)=0 u_cус(t)=U. Тогда, согласно (3.4), . (3.9)Постоянная интегрирования А находится из начальных условий (второй закон коммутации). До момента включения конденсатор был не заряжен, поэтому при t=0 u_c=0 из (3.9) при нулевых начальных условиях следует0=U+A, откуда A= U.Следовательно, . (3.10)

Ток в цепи во время переходного процесса . (3.11)

Г рафики изменения напряжения и тока при включении R, C цепи на постоянное напряжение показаны на рис. 3.6.

53.переходные процессы при разрядке через сопротивление заряженного конденсатора. Пусть емкость, заряженная до напряжения U, в момент t=0 подключается к сопротивлению R (рис. 3.7). Переходный процесс описывается дифференциальным уравнением .

Установившееся напряжение на емкости u_cу(t)=0. Поэтому, согласно (3.4),

. (3.12)

Постоянная А находится из второго закона коммутации (3.2). Тогда при t=0 из (3.12) следует U=A. , (3.13)

а переходный ток в цепи

.. (3.14)

К ривые изменения напряжения и тока при разряде емкости показаны на рис. 3.8.

55.Переходные процессы при включении цепи R,L,C на постоянное напряжение(колебательные процесс)Случай 1. , т.е. (колебательный процесс).

Корни характеристического уравнения комплексные и сопряженные: и ,

и ли , , (3.25)

где . (3.26)

Подставляем (3.25) в (3.23) и (3.24). Произведя преобразования, получим , (3.27) , (3.28)

где ; – волновое сопротивление цепи.

Выражения (3.27) и (3.28) описывают затухающие колебания с угловой частотой и коэффициентом затухания . При >> выражения(3.27) и (3.28) упрощаются: , (3.29) . (3.30)Кривые и i(t) для случая >> приведены на рис.3.10. При этом наибольший переходный ток в цепи , а наибольшее переходное напряжение на емкости . Длительность переходного процесса определяется коэффициентом затухания .Быстрота затухания колебаний тока определяется его декрементом затухания – отношением двух амплитуд, отличающихся на период, т.е.,

где является периодом затухающих колебаний.Н атуральный логарифм декремента затухания называется логарифмическим декрементом затухания.

56.Переходные процессы при включении цепи R,L,C на постоянное напряжение(апериодический процесс и критический случай). Случай 2. , т.е. (апериодический процесс). Согласно (3.18) корни характеристического уравнения p₁ и p₂ являются вещественными, но различными по значению.

Выражение (3.24) для переходного тока в этом случае может быть преобразовано в гиперболическую форму: .

На рис. 3.11 показаны зависимости и при апериодическом процессе. Длительность переходного процесса в этом случае определяется наименьшим корнем характеристического уравнения.Случай 3. , т.е. (критический случай). Согласно (3.18) корни характеристического уравнения одинаковы: Выражения (3.23) и (3.24) для переходного напряжения на емкости и переменного тока в цепи могут быть приведены к виду , .Кривые тока i(t) и напряжение аналогичны кривым, приведенным на рис. 3.11.