60. Метод експоненціального згладжування: звичайне, подвійне, потрійне

Крім методу ковзної середньої, як способу фільтрації тимчасового ряду, популярністю користується експоненціальне згладжування (першого та вищих порядків), в основі якого лежить розрахунок експоненціальних середніх.

Експоненціальна середня розраховується за рекуррентной формулою:

де s_t- значення експоненційної середньої в момент t,

s_t-1 - значення експоненційної середньої в момент t-1,

α - параметр згладжування (вага останнього спостереження), 0 <α <1, β = 1 - α.

Експоненційну середню, використовуючи рекурентні формули, можна виразити через значення часового ряду:

Т - кількість рівнів ряду, s₀ - деяка величина, що характеризує початкові умови для першого застосування формули при t = 1. Так як β <1, то β_T → 0 при T → ∞, а сума коефіцієнтів

Дійсно,

Тоді останнім доданком у формулі можна знехтувати і

Таким чином, величина s_t виявляється зваженою сумою всіх рівнянь ряду, причому ваги зменшуються експоненціально, у міру поглиблення в історію процесу, звідси назва - експоненціальна середня.

Нескладно показати, що експоненціальна середня має те ж математичне сподівання, що і вихідний часовий ряд, але меншу дисперсію.

Що стосується параметра згладжування α, то чим їм ближче α до 1, тим менш відчутно розбіжність між згладженим поруч із вихідним. І навпаки, чим менше α, тим більшою мірою пригнічуються випадкові коливання ряду і виразніше вимальовується його тенденція. Експоненціальне згладжування можна представити у вигляді фільтра, на вхід якого надходять значення вихідного часового ряду, а на виході формується експоненціальна середня.

Використання експоненційної середньої як інструмент вирівнювання часового ряду є виправданим у випадку стаціонарних процесів з незначним сезонним ефектом. Однак багато процесів містять тенденцію, що поєднується з яскраво вираженими сезонними коливаннями.

Останнім часом дедалі більшого поширення набуває методологія експоненціального згладжування другого і вищого порядків, яка точніше враховує той чи інший тренд у розвитку прогнозних показників.