26. Ряды Фурье

Тригонометрическим рядом Фурье называют функциональный ряд вида

или, более сжато

(1)

Постоянные числа  ,   и   ( ) называются коэффициентами тригонометрического ряда.

Если ряд (1) сходится, то его сумма есть периодическая функция   с периодом  , так как   и   являются периодическими функциями с периодом  .

Сходимость ряда Фурье

Если периодическая функция   с периодом   — кусочно-монотонная[1] и ограниченная на отрезке  , то тригонометрический ряд Фурье, построенный для этой функции, сходится во всех точках. Сумма полученного ряда   равна значению функции   в точках ее непрерывности. В точках разрыва   сумма ряда равняется среднему арифметическому пределов функции   справа и слева.

Из этой теоремы следует, что тригонометрические ряды Фурье применимы к достаточно широкому классу функций.

1. 1. Определение ряда

 Бесконечным числовым рядом называется выражение

u₁+u₂+...+u_n+... ,

содержащее неограниченное число членов, где

u₁ , u₂ , u₃ , ... , u_n , ...

- бесконечная числовая последовательность; u_n называется общим членом ряда.   Для составления ряда нужно знать закон образования общего члена.     Если u_n = (-1)ⁿ, то ряд имеет вид:

-1, +1, -1, +1, ..., -1, +1, ..., (-1)ⁿ

  Сумма первых n членов ряда обозначается символом S_n и называется частичной суммой этого ряда. Таким образом,

S_n = u₁ + u₂ + ... + u _n

или, короче,

  Определение: Ряд называется сходящимся, если сумма первых его n членов при n стремится к конечному пределу S, называемому суммой ряда.   Если ряд (1) сходится, т.е. имеет сумму S, то пишут

S = u₁ + u₂ + ... + u _n + ...

  Если же при n=>∞ сумма S_n не имеет предела или

то ряд (1) называется расходящимся и не имеет суммы.    Типичным примером сходящегося ряда может служить ряд, полученный из бесконечно убывающей геометрической прогрессии

a + aq + aq 2 + aq 3 + ... + aq n-1 + ...,

(2)

где

-1 < q < 1

  Действительно, для этого ряда

Sn = a + aq + aq 2 + aq 3 + ... + aq n-1 =

  При n=>∞ qⁿ=>0 (так как | q |<1), поэтому

и ряд (2) будет сходящимся. Таким образом можно написать

= a + aq + aq 2 + aq 3 + ... + aq n-1 + ...

 Если q = 1, то ряд (2) имеет вид a + a + a + a + ... + a + ...

  Сумма S_n первых его n членов, равная na, по абсолютной величине неограниченно возрастает при неограниченном возрастании числа n. Таким образом, ряд (3) - расходящийся.   Если q = -1, то ряд (2) примет вид

a - a + a - a + a - a +... +(-1)n-1 a + ... .

(4)

  Ясно, что для этого ряда

S_2n=0 ,   S_2n-1=a. т.е.сумма четного числа первых 2n членов ряда (4) стремится к нулю, а сумма нечетного числа первых 2n-1 его членов стремится к a.   Отсюда следует, что ряд (4) расходится, так как в сходящемся ряде как  S_2n так и S_2n-1 стремятся к одному и тому же пределу S.   Ясно, что если | q |>1, то ряд (2) является также расходящимся.