7. Признаки сходимости

Признаки сравнения рядов

Даны два ряда   и   − такие, что   для всех n. Тогда справедливы следующие признаки:

 Если   сходится, то   также сходится;

 Если   расходится, то   также расходится.

Предельные признаки сравнения рядов

Пусть даны два ряда   и  , у которых члены a_n и b_n положительны для всех n. Тогда справедливы следующие предельные признаки:

• Если  , то оба ряда   и   либо сходятся, либо расходятся;

• Если  , то ряд   сходится, если сходится ряд  ;

• Если  , то ряд   расходится, если расходится ряд  .

Так называемый обобщенный гармонический ряд   сходится при p > 1 и расходится при 0 < p ≤ 1. 

14. Абсолютное условие сходимости Признаки абсолютной сходимости Признак сравнения

Если   при  , то:

• если ряд   сходится, то ряд   сходится абсолютно

• если ряд   расходится, то ряд   расходится

Согласно критерию Коши,  . Значит,  , и по критерию Коши ряд   сходится. Второе утверждение следует из первого, так как если бы ряд   сходился, то и ряд   сходился бы.

12. Знакочередующийся ряд Ряд называется знакочередующимся, если его члены попеременно принимают значения противоположных знаков, т. е.:

Признак Лейбница — признак сходимости знакочередующегося ряда, установлен Готфридом Лейбницем. Формулировка теоремы: Пусть для знакочередующегося ряда

выполняются следующие условия:

1.  (монотонное убывание {a_n})

2. .

Тогда этот ряд сходится.

Замечания: Если, выполнены все условия, и ряд из модулей ( ) сходится, то исходный ряд сходится абсолютно. Если выполнены все условия, но ряд из модулей расходится, то исходный ряд сходится условно. Строгая положительность   существенна.

Ряды, удовлетворяющие признаку Лейбница, называются рядами Лейбница. Следует отметить, что этот признак является достаточным, но не необходимым. 10. Интегральный признак сходимости

Теорема. Пусть    - непрерывная, неотрицательная, монотонно убывающая функция, определенная при  . Тогда ряд   и интеграл    либо оба сходятся, либо оба расходятся. Основные теоремы о пределах Введение в математический анализ

Доказательство. Ввиду монотонности при всех   выполняются неравенства  . Интегрируя, получаем  . Тогда  , или  . Поэтому если   сходится, то  . Тогда      и  ,    ряд сходится.

Пусть теперь наоборот, известно, что ряд сходится. Тогда  . Взяв произвольное    выберем   так, чтобы  . Тогда  . Значит,    сходится.  - площадь под графиком   на отрезке от 1 до  .   - площадь “верхней лестницы”, расположенной над графиком и    - площадь “нижней лестницы”, под графиком.

 

Пусть ряд и интеграл сходятся. Тогда остаток ряда   .

Теорема. Сходимость ряда  .

Ряду   соответствует функция  .   сходится при   и расходится при  . По доказанной теореме, ряд сходится при   и расходится при  .

4. Знакоположительные ряды

Определение. Пусть   – последовательность вещественных чисел. Числовым рядом называется

Сумма   называется частной суммой ряда.

Определение. Если последовательность чисел   сходится к конечному пределу  , то говорят, что ряд сходится и его сумма равна

Если же последовательность   расходится, то говорят, что ряд расходится.

Числа   называются членами ряда. Всякая конечная сумма   называется отрезком ряда.

Если все числа   положительны (неположительны, неотрицательны, отрицательны), ряд называется знакоположительным(знаконеположительным, знаконеотрицательным, знакоотрицательным).

17. Область сходимости ряда

Так называют множество точек сходимости функционального ряда, т.е. множество значений аргумента х, для которых ряд (бесконечная сумма) сходится . Самую простую форму имеет область сходимости степенного ряда  . Для случая действительного переменного она либо состоит из одной точки, либо является некоторым интервалом числовой оси (интервалом сходимости),  либо совпадает со всей осью х. В случае комплексного переменного область сходимости состоит либо из одной точки, либо из внутренности некоторого круга на комплексной плоскости, либо совпадает со всей плоскостью комплексного аргумента. При этом в каждом случае граница области может как принадлежать, так и не принадлежать либо частично принадлежать области сходимости ряда. Другие типы функциональных рядов могут иметь более сложное строение области сходимости.

Для нахождения области сходимости ряда существуют различные признаки сходимости (Даламбера, Коши, интегральный и т.п.).