19. Равномерная сходимость
Равномерная
сходимость последовательности функций (отображений)
— свойство последовательности 
,
где 
—
произвольное множество, 
—метрическое
пространство, 
сходится
к функции (отображению) 
,
означающее, что для любого
существует
такой номер 
,
что для всех номеров
и
всех точек 
выполняется
неравенство
Обычно
обозначается 
.
Это условие равносильно тому, что
6. Знакопеременный ряд В отличие от гармонического ряда, у которого все слагаемые берутся со знаком «+», ряд
сходится по признаку Лейбница. Поэтому говорят, что такой ряд обладает условной сходимостью. Его сумма равна натуральному логарифму 2:
Эта формула — частный случай ряда Меркатора (англ.), ряда Тейлора для натурального логарифма.
Похожий ряд может быть получен из ряда Тейлора для арктангенса:
Это известно как ряд Лейбница. 16. функциональные ряды Ряд, члены которого являются функциями, называется функциональным рядом. Его обозначают:
|
|
Для
функциональных рядов вида
можно
найти область сходимости, т.е. множество
значений х, при подстановке каждого из
которых в 
полученный
числовой ряд будет сходящимся.
Для
определения области сходимости можно
воспользоваться признаком Даламбера,
т.е. найти 
.
В таком случае значения х, принадлежащие области сходимости, являются решениями неравенства |f(x)|<1. Так как при |f(x)|=1 признак Даламбера не дает ответа на вопрос о сходимости числового ряда, решения уравнения |f(x)| =1 нужно рассматривать отдельно.
8.
Признак
Даламбера
Рассмотрим положительный
числовой ряд 
.
Если существует предел отношения
последующего члена к предыдущему: 
,
то:
а) При 
ряд сходится.
В частности, ряд сходится при 
.
б)
При 
ряд расходится.
В частности, ряд расходится при 
.
в)
При 
признак
не дает ответа.
Нужно использовать другой признак. Чаще
всего единица получается в том случае,
когда признак Даламбера пытаются
применить там, где нужно использовать
предельный признак сравнения.
29. Вычисление р. Фурье для четных и нечетных функций
Пусть f(x) - четная функция с периодом 2L, удовлетворяющая условию f(-x) = f(x) .
Тогда для коэффициентов ее ряда Фурье находим формулы:
=
=
=
0
,
где n=1,2,
...
Таким образом, в ряде Фурье для четной функции отсутствуют члены с синусами, и ряд Фурье для четной функции с периодом 2Lвыглядит так:
Пусть теперь f(x) - нечетная функция с периодом 2L, удовлетворяющая условию f(-x) = - f(x).
Тогда для коэффициентов ее ряда Фурье находим формулы:
,
где n=1,2,
...
Таким образом, в ряде Фурье для нечетной функции отсутствует свободный член и члены с косинусами, и ряд Фурье для нечетной функции с периодом 2L выглядит так:
Если
функция f(x)
разлагается в тригонометрический ряд
Фурье на промежутке
то 
, где
,
,
,
Если f(x) разлагается в тригонометрический ряд Фурье на [0,L], то доопределив заданную функцию f(x) соответствующим образом на [-L,0]; далее периодически продолжив на (T=2L), получим новую функцию, которую разлагаем в тригонометрический ряд Фурье.
Для разложения в ряд Фурье непериодической функции, заданной на конечном произвольном промежутке [a,b], надо : доопределить на [b,a+2L] и периодически продолжить, либо доопределить на [b-2L,a] и периодически продолжить.