3. Геометрический ряд Так называется ряд (бесконечная сумма), члены которого образуют геометрическую прогрессию с первым членом а0 и знаменателем прогрессии, равным q.
Если |q| <
1, то существует предел суммы n первых
членов этой прогрессии при неограниченном
увеличении количества этих членов n:
В этом случае говорят о бесконечно убывающей геометрической прогрессии.
2. Числовые ряды
ЧИСЛОВОЙ РЯД –
бесконечная сумма членов бесконечной
числовой последовательности {an} называется
числовым рядом:
4.
Необходимые признаки сходимости ряда
Теорема.
Если ряд сходится, то 
un=0.
Доказательство.
Пусть ряд u1+u2+…+un… сходится,
то есть существует конечный предел 
=S.
Тогда имеет место также равенство 
=S,
так как при n
и (n-1)
. Вычитая
почленно из первого равенства
второе, получаем 
-
= 
=
un=0,
что и требовалось доказать.
Следствие. Если 
un≠0,
то ряд u1+u2+…+un… расходится.
9. Радикальный признак Коши
Снова
рассмотрим ряд 
с
положительными членами. Согласно
признаку Коши:
Если 
,
то ряд
сходится;
Если 
,
то ряд
расходится;
Если 
,
то вопрос о сходимости ряда
,
также как для признака Даламбера,
остается открытым.
Интегральный признак Коши Пусть f (x) является непрерывной, положительной и монотонно убывающей функцией на промежутке [1, +∞). Тогда ряд
сходится, если сходится несобственный интеграл
,
и расходится, если 
.
23.
Т-ма
Абеля
Теорема
Абеля —
результат теории степенных рядов,
названный в честь норвежского
математика Нильса
Абеля.
Пусть 
—
степенной ряд с комплексными коэффициентами
и радиусом сходимости 
.
Если
ряд 
является
сходящимся, тогда:
.
ДОКОЗАТЕЛЬСТВО
Заменой
переменных 
,
можно считать 
.
Также (необходимым подбором 
)
можно предположить 
.
Обозначим 
частичные
суммы ряда 
.
Согласно предположению 
и
нужно доказать, что 
.
Рассмотрим 
.
Тогда (приняв 
):
Отсюда
получается 
.
Для
произвольного 
существует натуральное
число 
,
что 
для
всех 
,
поэтому:
Правая
часть стремится к 
когда 
пстремится
к 1, в частности она меньше 
при
следовании
к
1.
18. Теорема Вейерштрасса
Теорема (первая теорема Вейерштрасса) Если функция непрерывна на сегменте, то она ограничена на нем. Доказательство: методом от противного, воспользуемся свойством замкнутости сегмента [a;b]. Из любой последовательности (xn) этого сегмента можем выделить подпоследовательность xnk, сходящуюся к x0∈[a;b] . Пусть f не ограничена на сегменте [a;b], например, сверху, тогда для всякого натуральногоn∈N найдется точка xn∈[a;b] , что f(xn)>n. Придавая n значения 1,2,3,{\ldots}, мы получим последовательность (xn)точек сегмента [a;b], для которых выполнено свойство f(x1)>1,f(x2)>2,f(x3)>3,...,f(xn)>n... Последовательность (xn) ограничена и поэтому из нее по теореме можно выделить подпоследовательность(xnk), которая сходится к точке x0∈[a;b] : limk→∞xnk=x0 (1) Рассмотрим соответствующую последовательность (f(xnk)). С одной стороны f(xnk)>nk и поэтому limk→∞f(xnk)=+∞ (2), С другой стороны, учитывая определение непрерывной функции по Гейне из (1) будем иметьlimk→∞f(xnk)=f(x0) (3) Получаем равенства (2) и (3) противоречат теореме (о единственности предела). Это противоречие и доказывает справедливость теоремы. Аналогично доказывается ограниченность функции снизу. Ч.Т.Д. Замечание 1 Таким образом, если f непрерывна на [a;b], то ее множество значений ограничено и поэтому существует конечные верхняя и нижняя грань функции. c=infx∈[a;b]f(x),d=supx∈[a;b]f(x), но открыт вопрос о достижении функции своих граней. Замечание 2 Если слово сегмент в условии теоремы заменить словом интервал или полуинтервал, то теорема может и нарушиться. Пример, y=tgx,tgx∈C((−2π;2π)) , но функция не ограничена на этом интервале. Теорема (вторая теорема Вейерштрасса) Если функция непрерывна на сегменте, то она достигает на нем своих граней (т.е. непрерывная на сегменте функция принимает свое наибольшее и наименьшее значения). Доказательство: Пусть f(x)∈C([a;b]) , c=infx∈[a;b]f(x), d=supx∈[a;b]f(x). По первой теореме Вейерштрасса c,d∈R . Докажем, что f достигает на [a;b] своих граней, т.е. найдутся такие точки x1,x2∈[a;b] , чтоf(x1)=c,f(x2)=d. Докажем, например, существование точки x2.
По определению верхней грани имеем (∀x∈[a;b])(f(x)=d) . Предположим противное, т.е. точки x2, в которой f(x2)=dна [a;b], тогда на [a;b] выполняется условиеf(x)<d или d−f(x)>0 . Далее введем вспомогательную функцию ϕ(x)=1d−f(x) . ϕ(x) на [a;b] положительна и непрерывна (как отношение двух непрерывных на [a;b] функций и d−f(x)/=0) , поэтому по первой Т. Вейерштрасса ϕ(x) на [a;b]ограничена. Это означает, что при некотором М>0 (∀x∈[a;b])(0<1d−f(x)≤M) , отсюда имеем f(x)≤d−1M<d . Полученное неравенство противоречит тому, что d является верхней гранью функции f(x) на [a;b], т.е. наименьшим из верхних границ. Полученное противоречие и означает существование точки x2 такой, чтоf(x2)=d.
Аналогично доказывается существование точки x1∈[a;b] , такой что f(x1)=c. Следствие Если f непрерывна и непостоянна на [a;b], то образ этого отрезка [a;b] при отображении f будет так же отрезок, т.е. непрерывный непостоянный образ отрезка есть отрезок. Доказательство: В самом деле образом отрезка [a;b] при отображении f будет отрезок [с;d], где c=inf[a;b]f(x)=min[a;b]f(x), а d=sup[a;b]f(x)=max[a;b]f(x), что следует из второй теоремы Больцано-Коши и второй теоремы Вейерштрасса Ч.Т.Д.
27.
Ортогональная функция
Две
вещественные функции 
и 
на
интервале 
называются ортогональными,
если
Для комплексных функций вводится комплексное сопряжение одной из функций под интегралом, для векторных — скалярное произведение функций под интегралом, а также интегрирование по отрезку заменяется на интегрирование по области соответствующей размерности.
Полезным
обобщением понятия ортогональности
является ортогональность с определённым
весом. Ортогональны с весом 
функции 
и 
,
если
где 
—
скалярное произведение векторов 
и 
—
значений векторнозначных функций
и
в
точке
,
—
точка области 
,
а 
—
элемент её объёма (меры).
Эта формула записана наиболее общим
способом по сравнению со всеми выше. В
случае вещественных скалярных
,
скалярное
произведение следует заменить на
обычное; в случае комплексных
скалярных
,
: 
.
21. Радиус
сходимости степенного ряда
Так
называют радиус круга сходимости
степенного
ряда 
на
комплексной плоскости (или степенного
ряда 
на
действительной числовой оси), т.е. такое
число r,
что ряд сходится при |z|
< r (соответственно
при |x|
< r)
и расходится при |z|
> r (соответственно
при |x|
> r).
На границе круга сходимости ряд может
как сходиться, так и расходиться.
Для вычисления радиуса сходимости степенного ряда имеются несколько формул, например:
(Формула
Даламбера);
(Формула
Коши).
24. Ряд Тейлора и Макларена Если функция f (x) имеет непрерывные производные вплоть до (n+1)-го порядка, то ее можно разложить в степенной ряд по формуле Тейлора:
где Rn − остаточный член в форме Лагранжа определяется выражением
Если
приведенное разложение сходится в
некотором интервале x,
т.е. 
,
то оно называется рядом
Тейлора,
представляющим разложение функции f (x) в
точке a.
Если a
= 0,
то такое разложение называется рядом
Маклорена:
Разложение некоторых функций в ряд Маклорена
13. Т-ма Лейбница
Теорема формулируется следующим образом. Знакочередующийся ряд
сходится, если
выполняются оба условия:
Из теоремы Лейбница вытекает следствие, позволяющее оценить погрешность вычисления неполной суммы ряда:
Остаток
сходящегося знакочередующегося
ряда 
будет
по модулю меньше первого отброшенного
слагаемого:
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО Допустим, что ряд начинается с положительного числа (в противном случае по приведённому ниже доказательству следует рассматривать сходимость ряда, начинающегося со второго члена).
2n-ая
частичная сумма данного ряда равна 
Так
как каждая сумма в скобках неположительна
и 
то
отсюда следует ограниченность 2n-ой
частичной суммы сверху числом 
Также
та же 2n-ая сумма равна 
Каждая
сумма в скобках неотрицательна. Отсюда
следует неубывание
последовательности 
то
есть для любого 
выполняется 
Из
первого предложения доказательства
эта последовательность ограничена
сверху. Значит, существует такое число
s, что 
Далее,
так как 
и
так как 
то 
Сумма
данного ряда равна 
где 
—
конечное число. Доказательство сходимости
завершено.