30. Решение уравнения Вебстера для бесконечного экспоненциального рупора.
Различают формы рупора конические, степенные, катеноидальные и экспоненциальные.
Одной из наиболее эффективной и практически применяемой является экспоненциальная.
Для экспоненциального рупора справедливо: S(х)=Sвхeβх ,
где β – показатель расширения рупора (β=const).
Т.о. сечение рупора изменяется по экспоненциальному закону.
Скорость
изменения сечения рупора
.
Подставим
это соотношение в предыдущее уравнение
:
Предположим,
что зависимость процесса от времени
гармоническая, т.е. решение уравнения
представимо в виде:
.
Тогда
получим уравнение Гельмгольца для
рупора:
Решение
полученного дифференциального уравнения
ищем в виде:
.
При
подстановке получим:
или
характеристическое уравнение:
.
Корни этого уравнения:
,
где
новое волновое число:
.
Таким образом, потенциал колебательной скорости имеет два слагаемых:
,
т.е. решение представляется в виде двух волн, движущихся навстречу друг другу:
.
Первая
волна
движется
из бесконечности, т.е. от широкой части
рупора к узкой (обратная волна); вторая
волна
движется в сторону роста рупора (прямая
волна).
Поскольку
мы исключили отраженную волну, то
окончательно представим решение для
рупора только в форме прямой волны:
31. Анализ звукового поля в бесконечном экспоненциальном рупоре.
Анализ звукового поля в рупоре будем производить на основе выражения для потенциала колебательной скорости.
Звуковое давление в рупоре
Звуковое давление выражается формулой:
.
Амплитуда давления
,
где
,
т.е. звуковое давление – убывающая функция от координаты х (по длине рупора):
рис.18.6
Интенсивность звука в рупоре
Интенсивность (сила) звука определяется как
т.е. также является убывающей по экспоненте функцией:
рис.18.7
Акустическая мощность в рупоре
Акустическую мощность можно рассчитать как:
,
т.е. акустическая мощность будет постоянна в любом сечении рупора:
.
Удельное акустическое сопротивление звуковой волны в рупоре
Удельное акустическое сопротивление определяется отношением звукового давления Р к колебательной скорости v:
Давление и колебательная скорость, соответственно, находятся из выражения для потенциальной скорости:
;
Подставим найденные выражения и выполним преобразования:
Таким образом, удельное сопротивление волны в рупоре комплексно, следовательно, это не чисто плоская волна.
32. Граничная частота рупора и дисперсия скорости звука в рупоре.
Гранична частота рупора
Повернемося до виразу|вираження|
для хвильового числа в рупорі
і перетворимо його:
.
В області низьких частот, коли
,
,
отже,
.
Запишемо вираз|вираження| для потенціалу коливальної швидкості:
,
тобто хвильового процесу в рупорі немає.
Тому треба зажадати:
або
.
Позначимо
через
:
,
таким чином, частота звукової хвилі в
рупорі повинна бути більша за граничну:
.
Це умова поширення|поширення|
хвилі в рупорі. Якщо
,
рупор замикається (як хвилевід), і
хвильовий процес відсутній.
Швидкість звуку в рупорі
Оскільки хвильове число в рупорі
змінилося на
при тій же частоті звукової хвилі, то
логічно припустити|передбачити|,
що швидкість звуку змінилася на
|із|:
.
Звідси
.
П
ри
,
;
а при
,
.
Побудуємо графік залежності
:
Рис. 3.176
Таким чином, в рупорі має місце дисперсія
швидкості звуку, що значною мірою
виявляється на частотах, близьких до
.
В зв’язку з цим нижню границю робочого
діапазону
вибирають дещо вище
:
.