20. Логічна еквівалентність. Еквівалентні перетворення формул. Теорема еквівалентності. Теореми рівності.

Формули  та  логічно еквівалентні, що позначатимемо , якщо  та .

Основою еквівалентних перетворень формул є семантична тeорeма еквiвалeнтностi.

Теорема 4.1.2. Нехай A’ отримана із формули A заміною деяких входжень формул B₁, ..., B_n на P₁, ..., P_n відповідно. Якщо B₁ P₁, ..., B_n P_n , то AA’. 

Формула A’ називається варіантою формули A, якщо A’ можна отримати із A послідовними замінами такого типу: підформулу xB замінюємо на yB_x [y], де y не вільна в B.

Теорема 4.1.3 (про варіанту). Якщо A’  варіанта формули A, то AA’.

21. Пренексні операції. Пренексна форма. Сколемівська нормальна форма.

Формула A знаходиться в пренексній формі, якщо вона має вигляд Qx₁ ...Qx_n B, де Qx_k  кванторний префікс x_k або x_k , B  безкванторна формула, яку називають матрицею формули A.

Формулу в пренексній формі називають пренексною формулою.

Під пренексними операціями над формулою A розуміємо такі операції:

a) заміна A деякою її варіантою;

b) заміна в A підформул вигляду xB та xB на xB та xB відповідно;

c) заміна в A підформул вигляду QxBC на Qx(BС), якщо x не вільне в C; заміна в A підформул вигляду BQxC на Qx(BC), якщо x не вільне в B.

Пренексною формою формули A назвемо пренексну формулу A’, утворену із A за допомогою пренексних операцій.

. Кожна формула має пренексну форму, причому якщо A’  пренексна форма формули A, то A  A’.

(Наверное Сколем. Норм.Ф.)Для уникнення елімінації логічних зв’язок & та  можна ввести додаткові пренексні операціі:

d) заміна в A підформул вигляду QxB&C на Qx(B&C), якщо x не вільне в C, та підформул вигляду B&QxC на Qx(B&C), якщо x не вільне в B;

e) заміна в A підформул вигляду BQxC на Qx(BC), якщо x не вільне в B;

f) заміна в A підформул вигляду xBC на x(BC), та підформул вигляду xBC на x(BC), якщо x не вільне в C.

22. Логіки еквітонних предикатів кванторного рівня (чнкл). Семантичні властивості. Нормальні форми.

Семантичними моделями неокласичної логіки кванторного рівня, або чистої неокласичної логіки (ЧНКЛ) є композиційні системи еквітонних квазіарних предикатів кванторного рівня (А, EPr^A, C), де C визначається множиною базових композицій {, , R , x}. Ураховуючи, що множина А фактично задана множиною предикатів EPr^A, зазначені композиційні системи набувають вигляду (EPr^А, C). Такі об'єкти назвемо композиційними алгебрами еквітонних предикатів кванторного рівня. Множину Ps назвемо сигнатурою мови ЧНКЛ.

Індуктивно вводимо поняття формули мови ЧНКЛ.

1. Кожний ПС є формулою. Такi формули назвемо атомарними.

2. Нехай  – формула. Тодi , x та – формули.

3. Нехай  та  – формули. Тодi – формула.

23. Логіки еквітонних предикатів кванторого рівня (фенкл). Семантичні властивості. Нормальні форми.

Семантичними моделями неокласичної логіки функціонально-екваційного рівня (ФЕНКЛ) є композиційні системи еквітонних функцій і предикатів (A, EFn^AEPr^A, C), де множина C визначається множиною базових композицій {, , x, S , =}. Множина A фактично задана множиною EFn^AEPr^A, тому зазначені композиційні системи набувають вигляду (EFn^AEPr^А, C). Такі об'єкти – композиційні алгебри еквітонних функцій та предикатів функціонально-екваційного рівня – теж природно вважати семантичними моделями ФЕНКЛ.

Алфавіт мови ФЕНКЛ складається з множини предметних імен V, множин Dns, Fns, Ps відповідно деномінаційних, функціональних, предикатних символів, а також множини символів базових композицій   x, S , =.

Множину FnsDns позначимо Fs. Множину FnsPs назвемо сигнатурою мови ФЕНКЛ.Основними конструкціями мови ФЕНКЛ є терми та формули. Множини термів Тr і формул Fr вводимо індуктивно.

Т1. Кожний ФС і кожний ДНС є термом. Такi терми атомарні.

Т2. Нехай t, t₁,..., t_n – терми. Тодi S t t₁...t_n – терм.

Ф1. Кожний ПС є формулою. Такі формули атомарні..

Ф2. Нехай t та s – терми. Тоді =ts – формулa.

Ф3. Нехай  – формула, t₁,..., t_n – терми. Тоді S t₁...t_n – формула.

Ф4. Нехай  та  – формули. Тодi ,  та x – формули