14. Ієрархія логік квазіарних предикатів 1-го порядку за рівнем абстракції розгляду та обмеженнями на клас предикатів.

На рівні логік предикатів 1-го порядку функції та предикати в загальному випадку розглядаємо як квазіарні, композиціями таких логік є логічні зв’язки, операції квантифікації, а також реномінації, суперпозиції та рівності. Назва "логіка 1-го порядку" пов’язана з тим, що квантори застосовуються тiльки до імен компонентів даних (предметних iмен). Будемо розглядати логіки еквітонних предикатів кванторного, функціонального та функціонально-екваційного рівня. Логіки еквітонних предикатів зберігають основні властивості класичної логіки, тому названі неокласичними (НКЛ). Семантичними моделями НКЛ є композиційні системи еквітонних квазіарних предикатів реномінативного рівня.

На кванторному рівні до пропозиційних композицій та реномінації додаються 1-арні параметричні композиції квантифікації x тa x. Дамо визначення композицій x тa x. Предикати x(P) та x(P) позначаємо xP та xP. Вказані предикати задамо так:

(xP)(d) =

(xP)(d) =

На функціональному рівні до композицій кванторного рівня додаються параметричні композиції суперпозиції. Композиція суперпозиції S V-квазіарним функціям f, g₁, ..., g_n співставляє V-квазіарну функцію S (f, g₁,...,g_n), значення якої для кожного d^VА обчислюється так: S (f, g₁,..., g_n)(d) = f([v₁g₁(d),...,v_ng_n(d)](d║(V\{v₁,...,v_n}))).Нехай Fп^А та Pr^А  множини V-квазіарних функцій та V-квазіарних предикатів на A. Будемо розглядати дві різновидності суперпозицій: (Fn^A)ⁿ⁺¹Fn^A та Pr^A(Fn^A)ⁿPr^A.Ввівши позначення вигляду для y₁,..., y_n , замість S також писатимемо S . Для роботи з окремими компонентами даних на функціональному рівні природно виділити спеціальні функції деномінації (розіменування). Для кожного vV маємо функцію ‘v, значення якої для кожного d^VА визначається так: ‘v(d) = v(d). Нехай Fn^А містить множину функцій розіменування Nf^А = {‘v | vV}. Тоді композицію реномінації можна промоделювати за допомогою композиції суперпозиції. Справді, для довільної fFn^APr^A маємо

R = S (f, ’x₁,..., ’x_n)

При введенні функцій розіменування базовими композиціями логік функціонального рівня будемо вважати , , x, S .

На функціонально-екваційному рівні можна ототожнювати і розрізняти предметні значення. що дає змогу ввести спеціальну бінарну композицію рівності = : Fn^AFn^APr^A. Композиція рівності кожним V-квазіарним функціям f та g співставляє V-квазіарний предикат = (f, g), значення якого для кожного d^VA обчислюється так:

= (f, g)(d) =

Базовими композиціями логік функціонально-екваційного рівня є , , x, S , =.

Композиції , , x зберігають фінарність, повнототальність, еквітонність V-квазіарних предикатів. Композиції R , S , = зберігають фінарність, повнототальність, еквітонність V-квазіарних функцій та предикатів. Таким чином, класи ЕFn^AEPr^A та СFn^ACPr^A замкнені відносно , , &, , R , S , x, x, = .

15. Класичні логіки 1-го порядку, їх мови. Терми, формули. Вільніта зв’язні змінні. Колізії. Замкнені формули.

Будемо розглядати логіку з фінарними функціями та предикатами, яка по суті є класичною логікою 1-го порядку. При цьому операції суперпозиції задаються неявно. Моделями такої логіки є класичні алгебраїчні системи з тотальними фінарними функціями та предикатами. Мови 1-го порядку. Засобами опису алгебраїчних систем є мови класичної логіки 1-го порядку, або просто мови 1-го порядку.

Алфавіт мови 1-го порядку складається із таких символів:

– множина V предметних імен (змінних);

– множина Fs функціональнихсимволів заданої арності;

– множина Ps предикатних символів заданої арності;

– символи логічних операцій ,  та x.

Основними конструкціями мови 1-го порядку є терми та формули.

Терми використовують для позначення суб’єктів, формули  для запису тверджень про суб’єкти.

Індуктивне визначення терма таке:

1) кожне предметне ім’я та кожна константа є термом; такі терми назвемо атомарними;

2) якщо t₁,..., t_n  терми, f  n-арний функціональний символ, то ft₁...t_n  терм.

Атомарною формулою називається вираз виду pt₁...t_n, де p  n-арний предикатний символ, t₁, ..., t_n  терми.Індуктивне визначення формули таке:

• кожна атомарна формула є формулою;

• якщо  та   формули, то  та   формули;

• якщо   формула, то x  формула.

Входження імені (змінної) x в формулу  зв’язане, якщо воно знаходиться в області дії деякого квантора по x, інакше таке входження x в  вільне. Якщо існує вільне входження імені x в формулу , то x  вільне ім’я (вільна змінна) формули . Формулу  із вільними іменами x₁,.., x_n позначаємо (x₁,.., x_n). Формула замкнена, якщо вона не має вільних імен.

Колізія  ситуація, коли вільні імена стали зв’язаними.

16. Інтерпретації (моделі) мов 1-го порядку. Алгебраїчні системи(АС). Виразність предикаті, множин, функції в АС.

Інтерпретацією, або моделлю мови L сигнатури  будемо називати АС з доданою сигнатурою вигляду A = (A, I, ). Множину A називають областю інтерпретації. Конкретна інтерпретація мови L на АС A = (A, I, ) визначається відображенням I : Fn^APr^A. Значення символів с, f , p позначаємо відповідно с_A , f_A , p_A : I(c)=c_A , I(f)=f_A , I(p)=p_A .

Алгебраїчною системою назвемо об’єкт вигляду A = (A, Fn^APr^A), де A  непорожня множина, яку називають носієм, або основою АС, Fn^A та Pr^A  множини функцій та предикатів, заданих на A.

Нехай A = (A, I, )  деяка АС. Предикат Р на A виразимий формулою  сигнатури , якщо Р  суть предикат _A .

Предикат Р на A виразимий в АС A = (A, I, ), якщо Р виразимий деякою формулою  сигнатури .

Множина, що є областю істинності предикату, виразимого в АС A, називається виразимою в АС A множиною.

Функція, графік якої  виразима в АС A множина, називається виразимою в АС A функцією.

Предикат "x=0" в АС (N, {, =}), (Q, {, =}), (R, {, =}) виражається формулою y(xy=x).

Предикат "x=1" в АС (N, {, =}), (Z, {, =}), (R, {, =}) виражається формулою y(xy=y).