8. Поняття секвенції. Секвенційні форми, секвенцій не дерева. Пропозиційне секвенцій не числення.

секвенціями називають об'єкти вигляду , де  та   множини формул,  новий символ, що не входить до алфавіту мови логіки. з секвенції _ позначимо __.

Згідно властивостей П1–П4 введемо такі базові секвенційні форми (зліва записуємо назву форми):

_ _

_ _

_ _

_& _&

Виведення в секвенційних численнях має вигляд дерева, вершинами якого є секвенції. Такі дерева називають секвенційними. Формально-аксіоматичні системи, які формалізують відношення логічного наслідку між двома множинами формул, називають секвенційними численнями.

9. Хінтікківські множини. Коректність, повнота про позиційного секвенційного числення.

Для доведення повноти секвенційних ЛЕ-числень природно використати метод модельних (хінтікківських)множин.

Для секвенційних числень РНКЛ справджуються теореми коректності та повноти:

Теорема 3.2.8 (коректності). Нехай секвенція __ вивідна. Тоді  .

Теорема 3.2.9 (повноти). Нехай  . Тоді секвенція __ вивідна.

10. Іменні множини (ім). Операції над ім. Квазіарні, х-арні, n-арні, фіеарні функції. Еквітонні, повнтотальні функції.

ІМ-однорівневі однозначні номінативні дані.

Операції над ІМ:

Для V-ІМ вводимо теоретико-множинні операції  та \. Введемо параметричну операцію ║Х звуження V-ІМ за множиною ХV: ║Х = {va vXВизначимо операцію  накладки V-ІМ ₂ на V-ІМ ₁: ₁₂ = ₂(₁║(V\іm(₂))).Параметричну операцію реномінації r : ^VА^VA задамо так: r () = [v₁(x₁),...,v_n(x_n)](║(V\{v₁...,v_n})).

Довільну функцію вигляду f :  ^VAR назвемо V-квазіарною функцією. Довільну функцію вигляду f : ^VA_F R назвемо V-фінарною функцією.Довільну функцію вигляду f : A^X R назвемо X-арною функцією. Зауважимо, що традиційні n-арні функції, тобто функції вигляду f : A^пR, можуть трактуватися як {1,...,n}-арні функції. Тому {1,...,n}-арні функції будемо називати n-арними функціями.

Дуже природне обмеження задається властивістю еквітонності, яка означає, що значення відображення не змінюється при розширенні даних. Таке обмеження справджується і для класичної логіки. Друге важливе обмеження, яке теж вірне для класичної логіки, є повнототальність.

V-квазіарна функція f : ^VAR еквітонна, якщо для довільних d, d'^VA із f(d) та d'd випливає f(d')=f(d). V-квазіарна функція f повнототальна, якщо f(d) для всіх dA^V. Умова повнототальності означає визначеність функції на всіх V-повних даних. Eквітонні повнототальні V-квазіарні функції назвемо V-повними функціями.

11. Композиції номінативного рівня. Реномінації. Квантори. Суперпозиції.

Нехай Fn^А  множина V-квазіарних функцій вигляду ^VAR.

Під композицією реномінації будемо розуміти 1-арну параметричну композицію R : Fn^АFn^А, що кожній V-квазіарній функції f ставить у відповідність V-квазіарну функцію R значення якої для кожного d^VA обчислюється так: R = f(r (d)).

Композиції , , R назвемо базовими композиціями логік реномінативного рівня.

Квантори: визначення композицій x тa x. Предикати x(P) та x(P) позначаємо xP та xP. Вказані предикати задамо так:

(xP)(d) =

(xP)(d) =

Композиція суперпозиції S V-квазіарним функціям f, g₁, ..., g_n співставляє V-квазіарну функцію S (f, g₁,...,g_n), значення якої для кожного d^VА обчислюється так: S (f, g₁,..., g_n)(d) = f([v₁g₁(d),...,v_ng_n(d)](d║(V\{v₁,...,v_n}))). Тоді R = S (f, ’x₁,..., ’x_n)