4. Логічний (тавтологічний) наслідок, логічна (тавтологічна) еквівалентність. Логічний наслідок для множини формул.

На множині ПФ введемо такі відношення:

 логічного (тавтологічного) наслідку ╞ ;

 логічної (тавтологічної) еквівалентності _т .

Формула  є логічним (тавтологічним) наслідком формули , що позначимо ╞ , якщо формула  – тавтологія. Пропозиційні формули  та  логічно (тавтологічно) еквівалентні, що позначимо _т, якщо ╞  та ╞ . ПФ  є логічним (тавтологічним) наслідком множини ПФ {₁,...,_n}, що позначимо {₁,...,_n}╞ , якщо ₁&…&_n╞ . Замість ╞  писатимемо ╞ .

5. Пропозиційне числення. Виведення в про позиційному численні.

Під пропозиційним численням (ПЧ) розуміємо формальну систему (L, A, P), де L  мова ПЛ, A  множина аксіом ПЧ, P множина правил виведення ПЧ. Множина A задається єдиною схемою аксіом , тобто складається із всіх ПФ вигляду , які назвемо пропозиційними аксіомами.

Множина P складається з наступних правил виведення:

П1) |  правило розширення. 

П2) |  правило скорочення.

П3) () |()  правило асоціативності.

П4) , |  правило перетину.

AB BA  правило комутативності (скорочено ПК);

A, AB B  правило modus ponens (скорочено МР).

Теоремою ПЧ називають ПФ, яка виводиться із пропозиційних аксіом за допомогою скінченної кількості застосувань правил виведення П1–П4.

6. Теорема тавтології. Наслідки. Коректність, повнота, розв’язність про позиційного числення .

Тeорeма тавтології (ТТ) для ПЧ. Множина теорем ЧВ співпадає з множиною тавтологій.

Теорема тавтології ПЧ засвідчує адекватність семантичної та синтаксичної істинності, тобто повноту логічних засобів ПЧ. Із ТТ безпосередньо випливає розв'язність ПЧ: множина теорем ПЧ алгоритмічно розв’язна відносно множини всіх ПФ.На практиці найчастіше використовується такий

Наслідок ТТ. Якщо {A₁, ..., A_n} ╞ A та A₁,..., A_n, то A.

Iз наслідку ТТ, зокрема, випливають окремі наслідки:

1) A&B  A та B.

2) AB  BA.

3) Якщо AB та BC, то AC.

4) AB  AB та BA.

5) Якщо AB, то ( A  B ).

Приклад 2.2.8. Якщо AB та СD, то AСВD.

Неважко переконатись, що {АВ, CD}╞ AСВD. Звідси і з умови AB та СD дістаємо AСВD за ТТ.

Приклад 2.2.9. Якщо AСВ&D, то AB та СD.

Маємо ACВ&D╞ (АВ)&(CD). Тепер скористуємось ТТ.

Приклад 2.2.10. Чи вірно: якщо AСВD, то AB та СD ?

Нехай із AСВD випливає AB та СD. Звідси необхідно AСВD╞ (АВ)&(CD). При (А)=(С)=(D)=T та (В)=F маємо (AСВD)=T та ((АВ)&(CD))=F.

Отже, з умови AСВD не випливає AB та СD.

7. Метод резолюцій для про позиційної логіки.

правило резолюцій - це правило висновку, що сходить до методу докази теорем через пошук протиріч; використовується в логіці висловлювань та логіки предикатів першого порядку. Правило резолюцій, що застосовується послідовно для списку резольвент, дозволяє відповісти на запитання, чи існує в вихідному безлічі логічних виразів протиріччя.