1. Предмет мат.Логіки. Поняття предикату. Логічні системи. Композиційні системи, алгебра предикатів.

Математична логіка є наукою про закони математичного м ислення. Математична логіка по суті є формальною логікою, що використовує математичні методи. Предметом математичної логіки є математичні теорії в цілому, які вивчаються за допомогою логіко-математичних мов.

Предикат виражає властивості суб’єкту (суб’єктів) та відношення між суб’єктами. Висловлення може приймати одне з двох значень – істина або фальш, тому з семантичної точки зору предикат можна уточнити як функцію, що конкретним іменованим суб’єктам ставить у відповідність значення Т або F. під предикатом на множині A розуміють довільну часткову функцію вигляду P: ABool, де Bool={T, F}.

Під логічною системою розуміємо об'єкт вигляду (М, , I, , ). Тут М  моделі логіки (світи розгляду),   дескрипції (засоби опису світів), I  відношення денотації (інтерпретації) дескрипцій на моделях,   відношення семантичної істинності на множині дескрипцій;   відношення виведення (синтаксичної істинності) на множині дескрипцій.

Під композиційною системою (КС) розуміємо трійку (D, Fn, C). Тут D  множина даних, Fn  множина функцій і предикатів над D, С  множина композицій (операцій) над Fn. Для логіки, враховуючи наявність предикатів, множина даних мусить включати множину Bool.

Якщо множину D явно не вказувати, вважаючи, що вона неявно задається множиною Fn, композиційні системи набувають вигляду (Fn, C). Такі об'єкти назвемо композиційними алгебрами.

2. Поняття алгоритму. Алгоритмічна перелічність, розв’язність. Числення. Формальні системи. Теорема, виведення.

Під алгоритмом розуміють скінченну множину точно визначених правил для чисто механічного розв’язку задач певного класу.

Множина L алгоритмічно перелічна, якщо L є множиною значень деякої АОФ, тобто існує алгоритм, який перелічує елементи множини L і тільки їх.

Множина L алгоритмічно розв'язна відносно множини U, якщо існує алгоритм, який дозволяє для кожного xU визначати, xL чи xL.

Під численням розуміють скінченну множину точно визначених породжувальних правил (ПП), які дозволяють із певних заданих об’єктів отримувати інші об’єкти. Породжувальні правила називають також правилами виведення.

Під формальною системою (ФС) розуміють трійку (L, A, P), де L мова, A  множина аксіом, P множина правил виведення. Мова задається алфавітом та правилами побудови слів мови, які називаються формулами.

Формула, отримана із аксіом за допомогою ПВ, називається теоремою.

Під виведенням будемо розуміти скінченну послідовність формул ₁, ..., _т, де кожна із формул такої послідовності або аксіома, або отримана із попередніх формул цієї послідовності за допомогою деякого правила виведення.

3. Композиції пропозиційного рівня. Мова пропозиційної логіки. Тавтології.

Основними пропозиційними композиціями є диз’юнкція , кон’юнкція &, заперечення , імплікація  та еквіваленція  . В загальному випадку часткових предикатів визначення 1-арної композиції  та бінарних композицій , , &,  подібні до визначень класичних логічних зв’язок для тотальних предикатів та висловлень [6, 12], але при цьому враховуємо частковість предикатів.

Для точного дослідження предикатів та висловлень на пропозиційному рівні треба ввести мову пропозиційної логіки (ПЛ). Фактично така мова визначається семантичними моделями ПЛ. Множину базових пропозиційних композицій можна задавати різними способами, головне, щоб така множина визначала повний клас усіх пропозиційних композицій. Ми вибрали множину базових композицій {, }.Алфавіт мови ПЛ складається із символів логічних зв’язок  і  та множини Ps пропозиційних символів (імен).

ПФ тавтологія, якщо вона має істиннісне значення T при кожній істиннісній оцінці мови ПЛ.

Отже, ПФ тавтологія, якщо вона істинна на кожному наборі значень її пропозиційних імен.