11.Распределение Максвелла. Скорость молекул.

Распределение молекул газа по скоростям (закон Максвелла)

В результате теплового движения молекул в газе, находящемся в состоянии теплового равновесия, устанавливается некоторое стационарное (постоянное) распределение молекул по скоростям. Рис. 5.2

Если отложить на оси ординат функцию распределения , а на оси абсцисс скорости молекул , и разбить диапазон изменения скоростей молекул на малые интервалы , то на каждый интервал будет приходиться некоторое количество молекул , имеющих скорость, заключенную в данном интервале

(рис. 5.2).

Функция распределения Максвелла определяет относительное количество молекул ,

скорости которых заключены в интервале от v до , т. е.

(5.17)

Таким образом, площадь на рис. 5.2 определяет относительное количество молекул, скорости которых лежат в интервале от v до .

Вид функции распределения молекул по скоростям ,

с использованием теории вероятностей был установлен Максвеллом

(5.18)

Конкретный вид функции зависит от массы молекул и температуры газа. Площадь, ограниченная кривой распределения и осью абсцисс, равна единице, т. е. функция распределения удовлетворяет условиям нормировки

(5.19)

а это есть численное значение площади под кривой.

Скорость, при которой функция распределения имеет максимум, называется наиболее вероятной скоростью. Значение можно вычислить, приравняв производную

(5.20)

Скорость, определяемая выражением (5.20), имеет наибольшее число молекул.

В МКТ пользуются также понятием среднеарифметической скорости , которая также вычисляется из закона распределения Максвелла

(5.21)

Напомним, что выражение для среднеквадратичной скорости имеет вид

(5.22)

12. Барометрическая формула.

Выведем закон изменения давления с высотой, предполагая, что газ находится в поле тяготения Земли.

Предположим, что это поле однородно, температура постоянна и масса всех молекул одинакова и равна .

Гравитационное поле, с одной стороны, и тепловое движение – с другой, приводит к стационарному распределению молекул газа по высоте, при котором давление с высотой убывает. Рис. 5.4 Пусть на высоте давление равно , а на высоте соответственно , причем, если , так как давление с высотой убывает.

По закону Паскаля

(5.23)

где – плотность газа на высоте h (при малом изменении ).

а

(5.24)

Вычтя из (5.24) (5.23), получим

. (5.25)

Используя уравнение Клапейрона – Менделеева , выразим плотность газа в виде

(5.26)

Подставив выражение (5.26) в (5.25), получим

(5.27)

Разделим переменные, формула (5.27) примет вид

(5.28)

Проинтегрируем (5.28),

получим

(5.29)

или

(5.30)

Считаем давление на уровне моря равным , тогда выражение (5.30) примет вид

(5.31)

Выражение (5.31) называется барометрической формулой.

Если воспользоваться соотношением (4.10) получим

. (5.32)

Учитывая, что – потенциальная энергия молекулы в поле тяготения, формулу (5.32) можно представить как

(5.33)

Выражение (5.33) называется распределением Больцмана во внешнем потенциальном поле.

Таким образом, рассмотренные статистические распределения имеют экспоненциальный характер, причем в показателе экспоненты стоит взятое со знаком минус отношение характерной энергии молекулы к величине , которая пропорциональна средней кинетической энергии теплового движения молекул.