2.Кинематические характеристики вращательного движения твердого тела. Момент инерции. Кинетическая энергия вращательного движения. Теорема Штейнера.

Вращательным называют такое движение твердого тела, при котором две какие-нибудь точки принадлежащие телу, остаются во все время движения неподвижными. Прямая, проходящая через эти точки, называется осью вращения. Все точки лежащие на оси так же неподвижны.

Чтобы определить положение вращающегося тела, введем две плоскости, проходящие через ось вращения (рис. 50 ) А - плоскость неподвижная; В - плоскость связанная с телом и вращающаяся с ним; DE - ось вращения, совпадающая с осью z.

Теперь в любой момент времени положение тела будет определяться углом   между плоскостями А и В или углом поворота тела, положительным, если вращение происходит против часовой стрелки, и отрицательным в противном случае. Закон вращательного движения

Угол поворота обычно измеряют в радианах.

Основными кинематическими характеристиками вращательного движения твердого тела являются его угловая скорость   и угловое ускорение  .

Если за промежуток времени   тело совершает поворот на угол  , то средняя угловая скорость будет численно равна

Угловой скоростью тела в данный момент t называется величина, к которой стремится средняя угловая скорость  , если   стремится к нулю.

Угловая скорость твердого тела является первой производной от угла поворота по времени.

Размерность: [радиан/время]; [1/время]; [1/сек = ].

Угловую скорость можно изображать вектором. Вектор угловой скорости   направляют по оси вращения в ту сторону, откуда вращение видно против хода часовой стрелки.

Если угловая скорость не является постоянной величиной, то вводят еще одну характеристику вращения - угловое ускорение.

Угловое ускорение характеризует изменение угловой скорости тела с течением времени.

Если за промежуток времени   угловая скорость получает приращение  , то среднее угловое ускорение равно

Угловым ускорением твердого тела в данный момент времени t называется величина к которой стремится   при   стремящемся к нулю

Как вектор, угловое ускорение   направлен так же, как и  , вдоль оси

Если направление   и   совпадает, то вращение ускоренное, если противоположно, то замедленное.

Если  = const, то вращение будет равномерным.

Найдем его закон. Так как  , то, интегрируя при начальных условиях t = 0,  = 0, получаем

Это и есть закон равномерного вращения.

Это закон равнопеременного вращения.

Если   и   имеют один знак, то вращение равноускоренное. Если знаки разные - равнозамедленное.

Момент инерции

Моментом инерции системы материальных точек относительно неподвижной оси вращения называется физическая величина, равная сумме произведений масс n материальных точек системы на квадраты их расстояний до неподвижной оси вращения (рис. 3.2).

(3.1)

Для случая непрерывного распределения масс момент инерции определяется интегрированием (3.2) Рис. 3.1 Момент инерции представляет собой меру инертности твердого тела при вращательном движении (аналог массы при поступательном движении). Момент инерции зависит от формы, размеров тела и положения оси вращения.

В качестве примера найдем момент инерции однородного сплошного цилиндра высотой h и радиусом R относительно его геометрической оси (оси симметрии тела).

Р азобьем цилиндр на отдельные концентрические цилиндры бесконечно малой толщины с внутренним радиусом r и внешним .

Момент инерции каждого такого цилиндра

(3.3)

где – масса элементарного цилиндра,  – плотность тела; – элемент объема.

Массу элементарного цилиндра можно представить как

(3.4)

тогда

(3.5)

т ак как масса цилиндра

то (3.6)

Если известен момент инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс, то момент инерции относительно любой другой параллельной оси определяется теоремой Штейнера

(3.7)

Момент инерции относительно любой оси вращения равен моменту инерции Jо относительно параллельной оси, проходящей через центр масс плюс произведение массы тела на квадрат расстояния между осями (табл. 3.1).

Значения моментов инерции однородных тел

правильной геометрической формы

Рис. 3.2

Кинетическая энергия вращающегося тела

Рассмотрим абсолютно твердое тело, вращающееся вокруг неподвижной оси ОО’. Мысленно разобьем тело на элементарные объемы с массами находящиеся на расстоянии от оси вращения.

Линейные скорости

элементарных объемов различны, а угловая одинакова, скорость их вращения т. е.

К инетическая энергия вращающегося тела определится как сумма кинетических энергий элементарных объемов

(3.9)

так как

то (3.10)

Е сли тело совершает одновременно вращательное и поступательное движение (например, цилиндр катится по горизонтальной поверхности), то кинетическая энергия Екин. складывается из энергии поступательного движения и энергии вращения, т. е

(3.11)

где m – масса; J – момент инерции.

Теорема Штейнера

П усть тело вращается вокруг неподвижной нецентральной оси. Это тело обладает кинетической энергией

(1)

г де I - момент инерции тела относительно данной н ецентральной оси . Проведём через центр масс С ось ОО , параллельную данной нецентральной оси  Тогда вращение твёрдого тела можно представить как результат вращения центра масс С вокруг оси    и вращение твёрдого тела вокруг центральной оси ОО тоже с угловой скоростью . Кинетическую энергию тоже можно представить как сумму двух слагаемых :

( 2)

где  - линейная скорость центра масс. C учётом (1) и (2) получаем

   - теорема Штейнера.

Т еорема Штейнера: Момент инерции I относительно произвольной оси равен сумме момента инерции I0 относительно оси, параллельной данной и проходящей через центр масс тела, и произведения массы тела m на квадрат расстояния d между осями :

 Таким образом, теорема Штейнера, по существу, сводит вычисление момента инерции относительно произвольной оси к вычислению момента инерции относительно оси, проходящей через центр масс тела.