28. Категоричність теорій першого порядку. Теорема Лося-Воота.

Нехай a - деяка нескінченна потужність. Зліченну потужність позначаємо w. Теорія 1-го порядку категорична, якщо всі її моделі ізоморфні.

Приклад 6.3.7. ЧП-1, сигнатура якого містить єдиний 1-арний ПС як нелогічний символ – це теорія, яка для довільної a не є a-категоричною.

Приклад 6.3.8. Нехай T  теорія 1-го порядку, сигнатура якої містить єдиний 1-арний ПС Р як нелогічний символ. Нехай власні аксіоми T стверджують: для кожного kÎN існує ³k елементів з властивістю Р та існує ³k елементів з властивістю ØР. Тоді T w-категорична, але не a-категорична для кожної незліченної a.

Приклад 6.3.9. Нехай T  теорія 1-го порядку, нехай її нелогічними символами будуть константні символи с₁, с₂ , …, с_п , … , які утворюють нескінченну послідовність. Нехай власні аксіоми T мають вигляд с_i ¹с_j для всіх i¹j. Тоді T a-категорична для кожної незліченної a, але не w-категорична.

Теорема 6.3.6 (Морлі). Якщо зліченна теорія a-категорична для деякої незліченної a, то вона b-категорична для всіх незліченних b.

Прикладом використання поняття категоричності є

Теорема 6.3.7 (Лось-Воот). Нехай a  деяка нескінченна потужність. Нехай T  несуперечлива теорія потужності a, всі моделі якої нескінченні, причому T a-категорична.. Тоді T  повна теорія.

28. Аксіоматичні системи неокласичних логік. Чнкч, фенкч.

Формально-аксіоматичними системами логік еквітонних повнототальних функцій та предикатів функціонально-екваційного рівня є функціонально-екваційні неокласичні числення (ФЕНКЧ)

Теорія T рекурсивно аксіоматизована, якщо множина k(Ax) номерів її власних аксіом рекурсивна. Це означає, що множина її власних аксіом Ax алгоритмічно розв’язна відносно множини всіх формул мови теорії.Теорія T  рекурсивно аксіоматизовна, якщо T  еквівалентна деякій рекурсивно аксіоматизованій теорії.

Формально-аксіоматичними системами логік повнототальних еквітонних предикатів кванторного рівня є чисті неокласичні числення (ЧНКЧ) . Кожна така система визначається як трійка T = (L, A, P), де L  мова логіки із заданою множиною формул Fr, яку назвемо також мовою ЧНКЧ, AÍFr  множина аксіом, P  множина правил виведення.

Множина A розбита на множину A_лог логічних аксіом та множину A_вл власних аксіом.

ЧНКЧ, в яких A_вл=Æ, назвемо стандартними.

ЧКНЧ, в яких A_вл¹Æ, назвемо спеціалізованими, або прикладними.

Множину A_лог можна задати такими схемами аксіом:

АхПР) пропозиційні аксіоми.

АхRx) ®v₁...v_n аксіоми підстановки.

Ах) xyyxкомутативність -префіксів.

АхR) R (Ø) « ØR (Ø))  RØ-дистрибутивність.

АхR) R (ÚY) « R () Ú R (Y)  RÚ-дистрибутивність.

АхRR) R (R ()) « R ()  згортка реномінацій.

АхR$) R ($x) « $xR () при xÏ{ ,  }  обмежена R$-дистрибутивність

АхRT) .

АхN) xxxаналітична неістотність квантифікованих імен.

АхNR) при x¹z  аналітична неістотність верхніх імен в реномінаціях.

АхNP) px p  синтетична неістотність імен для базових предикатів