Відповіді 2частина

28. Теорії 1-го порядку (Th_1). .Логічні аксіоми та правила виведення. Моделі Th_1. Терема істинності.

Множина логічних аксіом задається такими схемами аксіом:

Ах1)   пропозиційні аксіоми;

Ах2) _x[t]x  аксіоми підстановки;

Ах3) x=x  аксіоми тотожності;

Ах4) x₁=y₁...x_n = y_n fx₁...x_n =fy₁...y_n та

x₁=y₁...x_n = y_npx₁...x_nрy₁...y_n  аксіоми рівності.

Множина ПВ P складається з наступних правил виведення:

П1) |  правило розширення. 

П2) |  правило скорочення.

П3) () |()  правило асоціативності.

П4) , |  правило перетину.

П5)  x, якщо x не вільна в ,  правило -введення.

Теоремою теорії 1-го порядку T називають формулу, яка виводиться із аксіом за допомогою скінченної кількості застосувань ПВ.

Множину теорем теорії T позначатимемо Th(T). Те, що A  теорема, позначаємо T A, або A, якщо T мається на увазі.

Сигнатурою теорії 1-го порядку називають сигнатуру мови цієї теорії.

Формулу мови теорії називатимемо також формулою теорії.

Теорія T’ називається розширенням теорії T, якщо кожна формула теорії T є формулою теорії T’ та Th(T) Í Th(T’).

В цьому випадку теорію T називають звуженням теорії T’.

Розширення (звуження) T' теорії T називають простим, якщо T та T' мають однакові мови.

Теорії 1-го порядку T₁ та T₂ називаються еквівалентними, якщо в них однакові мови та множини теорем.

Потужністю теорії T називають потужність множини Th(T). Зокрема, теорія 1-го порядку із зліченною сигнатурою зліченна, теорія 1-го порядку з сигнатурою потужності a має потужність a.

Теорема 6.1.2 (теорема істинності). Кожна теорема теорії 1-го порядку T істинна в T.

28. Приклади Th_1. Формальна арифметика Ar.

Приклад 6.1.1. Теорія 1-го порядку, яка не містить власних аксіом, називається численням предикатів 1-го порядку (скорочено ЧП-1).

Приклад 6.1.2. Особливе місце серед формальних теорій займає теорія натуральних чисел – формальна арифметика. Позначимо її Ar. Мовою Ar є мова L_ar. Власні аксіоми Ar такі:

Ar1) (x+1=0);

Ar2) x+1=y+1x=y;

Ar3) x+0=x;

Ar4) x+(y+1)=(x+y)+1;

Ar5) x´0=0;

Ar6) x´(y+1)=x´y+x;

Ar7) A_x[0] &"x(AA_x[x+1]) "xA  аксіоми індукції.

28. Теорема тавтології. Приклади виведень в теоріях 1-го порядку. Теореми дедукції та редукції.

Теорема 6.1.3 (теорема тавтології). Кожна тавтологія є теоремою.

Наслідок. Якщо {F₁, ..., F_n}╞ F та F₁, ..., F_n , то F.

Приклад 6.2.1. "xAA.

Маємо AxA (аксіома Ах3), звідси за ТТ xAA, тобто "xAA.

Приклад 6.2.2 (правило "-введення). Якщо AB та x не вільне в A, то A"xB.

Якщо AB, то BA за TT, звідки xBA за П5. Тоді AxB за ТТ, отже, A"xB.

Приклад 6.2.3 (правило дистрибутивності). Якщо AB, то xAxB та "xA"xB.

Маємо AB (умова) та BxB (аксіома Ах3), звідки за TT AxB, тому за П5 дістаємо xAxB.

З умови маємо BA за TT, маємо AxA (аксіома Ах3), звідси за ТТ BxA. За П5 маємо xBxA, тому за TT xAxB , тобто "xA"xB.

Приклад 6.2.4 (правило узагальнення). Якщо A, то "xA.

Якщо A, то за П1 "xAA, звідки за TT A"xA. Тоді xA"xA за П5, тобто "xA"xA. Тепер "xA за П2.

Приклад 6.2.5 (правило уособлення). Якщо "xA, то A.

За теоремою 6.2.1 "xAA. Звідси і з умови "xA за MP A.

Приклад 6.2.6 (теорема замикання). A  A.

Випливає з правил узагальнення та уособлення.

Теорема 6.2.2 (теорема дедукції). Нехай A  замкнена формула. Тоді для довільної формули B маємо: T AB  T [A] B.

Наслідок. Нехай A₁, ..., A_n  замкнені формули. Тоді для довільної формули B маємо T A₁...A_nB  T [A₁, ..., A_n] B.

Теорема 6.2.3 (теорема редукції). Нехай G  деяка множина формул. Тоді T [G] A  T B₁...B_nA для деяких B₁, …, B_n , де кожна формула B_k є замиканням деякої формули із G.