Взаимосвязь двоичной, восьмеричной и шестнадцатеричной систем счисления.
Перевести число 7F1,A316 в восьмеричную систему счисления.
Для выполнения перевода необходимо число из шестнадцатеричной системы счисления перевести в двоичную, а затем из двоичной системы счисления в восьмеричную систему счисления.
7 |
F |
1 |
, |
A |
316 |
0111 |
1111 |
0001 |
, |
1010 |
00112 |
011 |
111 |
110 |
001 |
, |
101 |
000 |
1102 |
3 |
7 |
6 |
1 |
, |
5 |
0 |
68 |
7F1,A316 = 3751,5068
Проверим правильность перевода с помощью десятичной системы счисления.
72 F1 10 ,A-1 3-2 16 = 7162 + 15161 + 1160 + 1016-1 + 316-2 = 1792 + 240 + 1 + 0,625 + 0,01171875 = 2033,6367187510
33 72 61 10 , 5-1 0-2 6-3 8 = 383 + 782 + 681 + 180 + 58-1 + 08-2 + 68-3 = 1536 + 448 + 48 + 1 + 0,625 + 0,01171875 = 2033,6367187510
Так при проверке получен одинаковый результат, то перевод выполнен верно.
Практическая часть.
1. Представьте следующие числа в виде позиционной записи:
576; 842,3; 1924,803; 10000; 0100,00; 0,002
2. Имеются позиционные записи десятичных чисел:
8×102 + 5×101 + 3×100 + 7×10-1 + 6×10-2;
0×104 + 1×103 + 8×102 + 4×101 + 0×100 + 0×10-1 + 9×10-2;
9×105 + 4×103 + 3×100 + 4×10-2 + 4×10-3
Чему равны сами числа?
3. Запишите алфавит 4-ричной , 7-ричной , 12-ричной систем счисления.
«Арифметические операции над двоичными числами без знака» теоретическая часть
Правила выполнения арифметических операций над числами в двоичном коде представлены в таблице:
Сложение |
Вычитание |
Умножение |
0 + 0 = 0 0 + 1 = 1 1 + 0 = 1 1 + 1 = 0 и единица переноса в старший разряд
|
0 - 0 = 0 1 - 1 = 0 1 - 0 = 1 0 - 1 = 1 единица, занятая в старшем разряде, переходит в младший разряд как две единицы |
0 0 = 0 0 1 = 0 1 0 = 0 1 1 = 1 Умножение и деление выполняется аналогично этим действиям в десятичной системе счисления |
Деление выполняется по тем же правилам, что и в десятичной системе счисления.
СЛОЖЕНИЕ
1 |
|
1 1 1 |
|
1 1 1 |
единицы переноса |
+1010 |
|
+1111 |
|
+101,011 |
|
1001 |
|
1 |
|
1,11 |
|
10011 |
|
10000 |
|
111,001 |
|
Сложение трех единиц:
|
|
=0 и единица переноса в старший разряд |
||
1 |
1 |
|||
|
1 |
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
1Сложение четырех единиц:
|
|
1 |
=0 и единица переноса в старший разряд |
||
|
1 |
1 |
|||
|
|
1 |
=0 и единица переноса в старший разряд |
||
1 |
1 |
1 |
|||
1 |
0 |
0 |
|
|
|
ВЫЧИТАНИЕ
|
|
11 11 11 |
|
|
|
|
|
|
|
-1011 |
|
-1 0 0 0 |
|
-101 |
111 |
|
1 |
|
10,1 |
100 |
|
1 1 1 |
|
10,1 |
УМНОЖЕНИЕ
|
|
1) |
|
|
|
|
х1 |
0 |
1 |
1, |
0 |
1 |
1 |
|
|
|
|
2) |
|
|
|
х1 |
0 |
1 |
1, |
0 |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
1 |
0, |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
1 |
0, |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1, |
1 |
0 |
0 |
1 |
|
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1, |
1 |
0 |
0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пункт 1) - при умножении на 0 получается промежуточное произведение состоящее из 0.
Пункт 2) – если разряд множителя равен 0, то можно пропустить умножение на этот разряд, а следующее промежуточное произведение сдвинуть вправо на один разряд.
ДЕЛЕНИЕ
-1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
|
|
-1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
|
|
|
|
1 |
1 |
0 |
|
|
1 |
0 |
1 |
|
|
|
1 |
1 |
|
1 |
1, |
0 |
1 |
0 |
1… |
|
|
-1 |
1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
-1 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
-1 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-1 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-1 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
Перевести указанные числа в десятичной системе счисления в двоичную. Выполнить указанные арифметические действия как над двоичными числами без знака. Выполнить проверку результата.
1. 41,25 + 13,1875 2. 57,5 – 27,625
3. 17,5 2,125 4. 46,875 : 7,5
Представление указанные числа в двоичной системе счисления и результаты вычисления проверим, используя таблицу весов позиций:
В разделе «Результаты вычислений» в строки 1, 2, 3, 4 в графы «Весовые значения разрядов и коды чисел» будем вписывать соответственно двоичный результат для каждого действия. Вычислим сумму весов и впишем в графу «Числа». Если операция выполнена верно, то результаты должны быть одинаковы
Таблица 1.
№ |
Весовые значения разрядов и коды чисел |
Числа |
|||||||||||||
|
27 |
26 |
25 |
24 |
23 |
22 |
21 |
20 |
, |
2-1 |
2-2 |
2-3 |
2-4 |
||
|
128 |
64 |
32 |
16 |
8 |
4 |
2 |
1 |
, |
0,5 |
0,25 |
0,125 |
0,0625 |
||
ИСХОДНЫЕ ДАННЫЕ |
|||||||||||||||
1 |
|
|
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
, |
0 |
1 |
|
|
41,25 |
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
0 |
1 |
, |
0 |
0 |
1 |
1 |
13,1875 |
|
2 |
|
|
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
, |
1 |
|
|
|
57,5 |
|
|
|
|
|
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
, |
1 |
0 |
1 |
|
27,625 |
|
3 |
|
|
|
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
, |
1 |
|
|
|
17,5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
0 |
, |
0 |
0 |
1 |
|
2,125 |
|
4 |
|
|
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
, |
1 |
1 |
1 |
|
46,875 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
1 |
, |
1 |
|
|
|
7,5 |
|
РЕЗУЛЬТАТЫ ВЫЧИСЛЕНИЙ |
|||||||||||||||
1 |
|
|
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
, |
0 |
1 |
1 |
1 |
58,4375 |
|
2 |
|
|
|
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
, |
0 |
1 |
1 |
|
29,875 |
|
3 |
|
|
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
, |
0 |
0 |
1 |
1 |
37,1875 |
|
4 |
|
|
|
|
|
1 |
1 |
0 |
. |
0 |
1 |
|
|
6.25 |
|
1. 41,25 + 13,1875 = 54,4375
+ |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
, |
0 |
1 |
|
|
|
|
|
1 |
1 |
0 |
1 |
, |
0 |
0 |
1 |
1 |
|
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
, |
0 |
1 |
1 |
1 |
2. 57,5 – 27,625 = 29,875
|
|
11 |
11 |
11 |
11 |
11 |
|
11 |
11 |
11 |
|
|
- |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
, |
1 |
0 |
0 |
|
|
|
|
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
, |
1 |
0 |
1 |
|
|
|
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
, |
0 |
1 |
1 |
|
|
3. 17,5 2,125 = 31,1875
|
|
|
|
|
|
1 |
0 |
0 |
0 |
1, |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
0, |
0 |
0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
|
|
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1, |
0 |
0 |
1 |
1 |
4. 46,875 : 7,5 = 6,25
Деление выполняется так же как над числами в десятичной системе счисления.
-1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0, |
1’ |
1 |
1 |
1 |
1 |
1, |
1’ |
|
|
1 |
1 |
1 |
1 |
|
|
|
|
1 |
1 |
0, |
0 |
1 |
|
-1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
0 |
-1 |
1 |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|