Донецкий политехникум Арифметико-логические основы ЭВМ
Самостоятельное изучение
«Арифметические основы эвм»
Цель. Изучить позиционные системы счисления и их применение в вычислительной технике.
Студенты должны:
Знать:
определение базиса, алфавита, основания позиционной системы счисления
представление чисел в различных системах счисления;
правила выполнения арифметических операций над числами в различных системах счисления;
правила выполнения арифметических операций над двоичными числами без знака;
правила представления чисел в обратном и дополнительном кодах;
свойства чисел в дополнительном коде и арифметические операции над ними.
Уметь:
представлять числа в позиционной записи;
переводить числа из одной системы счисления в другую, используя их взаимосвязь и алгоритмы перевода;
выполнять арифметические действия над двоичными числами без знака.
представлять числа со знаком в прямом и дополнительном кодах;
выполнять операции сложения и вычитания над двоичными числами в дополнительном код.
«Представление чисел в позиционной системе счисления. Перевод чисел из одной системы счисления в другие»
Теоретическая часть
Основное требование к эвм – обеспечить возможность кодировать и хранить представленные определенным образом числа, а также выполнять операции над ними.
Базис, алфавит, основание
Система счисления — способ записи (изображения) чисел.
Цифры - символы, при помощи которых записывается число.
Надо различать понятия «вид цифры» и «значение цифры».
Например, в римской системе счисления числа записываются при помощи цифр I, V, X, L, С, D, M. Эти цифры имеют следующие значения: I-1, -5, X-10, L - 50, С - 100, D - 500 и М - 1000. В десятичной системе используются цифры от 0 до 9.
Системы счисления, в которых вклад каждой цифры в величину числа зависит от ее положения (позиции) в последовательности цифр, изображающей число, называются позиционными.
Системы счисления, в которых каждой цифре соответствует величина, не зависящая от местонахождения этой цифры в записи числа, называются непозиционными.
Алфавит системы счисления - совокупность различных цифр, используемых в позиционной системе счисления для записи чисел.
Базис позиционной системы счисления - это последовательность чисел, каждое из которых задает значение цифры «по месту» или «вес» каждого разряда.
Пример. Выпишем базисы некоторых традиционных систем счисления.
Десятичная система: 1(100), 101, 102, 103, 104, …, 10n,… .
Двоичная система: 1(20), 21, 22, 23, 24, …, 2n,… .
Восьмеричная система: 1(80), 81, 82, 83, 84, …, 8n,… .
При записи числа в различных системах счисления пользуются указателями оснований используемых систем. Это может быть справа внизу маленькая цифра или в конце буква латинского алфавита D, B, H, O:
D (decimal) - десятичный;
B (binary) - двоичный;
H (hexadcimal) - шестнадцатеричный;
O (octal) - восьмеричный.
Например, 3510 или 35D - обе записи обозначают число десятичное число 35.
1000112 или 100011B – обозначают одно и тоже двоичное число 100011.
Числа могут быть записаны в различных системах счисления. Наиболее привычная для нас – десятичная система счисления. В этой системе принят счет десятками, основанием системы является число 10 и используется 10 основных цифр. Размещая их на различных позициях (придавая им различный вес), можно выразить любое число.
По такому принципу можно построить систему счисления с произвольным основанием b. В общем случае любое число N в позиционной записи представляется так:
N = (Pn Pn-1 Pn-2 … P1 P0 , P-1 P-2 … P-m) b, где
b – целое положительное, фиксированное число (основание системы счисления);
Pi – целое число (0 ≤ Рi ≤ b-1, I = -m, … -2, -1, 0, 1, 2, … n) – называется основанием системы.
Позиционные цифры называют еще позиционными, разрядными или весовыми коэффициентами.
Указанное представление является символической записью суммы членов степенного полинома с соответствующими весовыми коэффициентами Pi вида:
N
= Pnbn
+ Pn-1bn-1
+ …+ P1b1
+ P0b0
+ P-1b-1
+ … + P-mb-m
=
Степени основания системы счисления называются весами.