Основные уравнения электродинамики, используемые при решении прямых задач в электроразведке

Уравнение Максвелла 1.1. Получим одно основное уравнение для расчета электрического и магнитного поля. Где σE- это, по сути, плотность тока. Возьмем ротор от правой и левой части (3) – 1.2. Раскроем rot rot E – 1.3. Предполагая, что никаких других зарядов кроме нашего в среде нет получим 1.4. Это уравнение еще называют телеграфным.

Если подставим (3) в (4), то оно приведет к 1.5 – телеграфное уравнение для магнитного поля. Лапласиан – это вторая производная, т.е. это распространение поля и в пространстве и по времени. Первая производное – медленное изменение, вторая производная – быстрое.

Если среда хорошо проводит большой ток, т.е. σ>>ε и поле медленно меняется, распространяясь в проводящей среде (1.6). Тогда мы можем упростить уравнение 1.4 до 1.7. Это основное уравнение для квазистационарных полей. Это ЧЗ, МТЗ, ЗСБ и их модификации. Если среда достаточно плохо проводящая, если σ<<ε, а поле меняется очень интенсивно, т.е. 1.8, тогда уравнение 1.4 дает 1.9. Получили волновое уравнение, которое лежит в основе всех задач сейсморазведки, оно описывает все волновые процессы. В электроразведке это уравнение лежит в основе высокочастотных методов, т.е. f>10 МГц, например, георадар.

Если поле постоянное, т.е. E(t)=const, получаем уравнение 1.10. Но если div E=0, то получим уравнение Лапласа 1.11. Это уравнение лежит в основе методов постоянного тока: ВЭЗ, ЭП, ЕП, МСГ (метод срединного градиента).

Все задачи на переменном токе решаются с помощью ухода в комплексные числа, а потом обратный переход в реальный мир. С помощью уравнения Гельмгольца. Поэтому методы на переменном токе в теоретическом плане довольно сложные.

Лекция 3 Правила округления результатов экспериментальных наблюдений

Физика говорит, что мы ничего не можем измерить абсолютно точно. Поэтому данные всех измерений представляются в виде

Где - истинное или среднее значение, а Δх – абсолютная погрешность.

При выполнении измерений обычно определяется относительная погрешность:

Обычно в относительной погрешности информацию несут первые две (иногда одна) цифры. Рассмотрим пример, мы выполняли измерения, получили какие-то значения =1456,148. Найдем чему равняется абсолютная погрешность. Пусть погрешность методики δ=10%, тогда

Т.е. погрешность проявляется уже с сотен, поэтому можно записать:

Следовательно, при округлении следует оставлять те значения, которые несут полезную информацию. Относительная погрешность не может быть нулевой, поэтому ее всегда надо учитывать и в соответствии с этим правильно округлять значения.

О некорректности решения обратных задач

В теории геофизике различают прямые и обратные задачи. В решении прямых задач фундаментальных проблем нет, они решаются с помощью стандартных методов математического анализа. А вот решение обратной задачи довольно затруднено, так как имеется неоднозначность. Условия корректности задач были сформированы еще в начале прошлого века французским математиком Жоржем Адамаром:

1) Мы заранее знаем, что решение существует;

2) Решение единственное;

3) Это решение однозначное, т.е. устойчивое к малым изменениям исходных данных.

Все обратные задачи геофизики относятся к некорректным задачам. Однако, пути решения таких задач существуют. Рассмотрим проблемы некорректности задач на примере ВЭЗ.

Первое условие выполняется. Целый ряд математиков доказали единственность решения обратных задач для электроразведки (Тихонов, Лангер, Сликтер). Эта теорема доказана только для сред, где изменение свойств происходит с глубиной, а по латерали нет изменчивости. Теорема: если мы на поверхности среды получаем график с точностью δ=0, по кривой такого зондирования мы можем точно получить единственное решение изменения свойств с глубиной. Остается третье условие, оно говорит о том, что маленьким погрешностям полевых измерений могут соответствовать большие изменения измерений. Для ВЭЗ считается хороший результат, если погрешность не превышает 5%.

Тихонов в 1963 г ввел понятие условно-корректных задач. Т.е. задача некорректная по Адамару, в некоторых условиях может оказаться условно-корректной по Тихонову.

Запишем уравнение

Где х – условно искомое решение (h, ρ), а f – наблюденное поле, А – оператор, связывающий решение с наблюденным полем.

Погрешность

Погрешность полевых измерений

Одно из условий повышения однозначности:

Чувствительность поля к изменениям решения должна быть:

В одном случае причина некорректности в операторе А, маленьким погрешностям полевых измерений могут соответствовать огромные погрешности в решении.

Приёмы сведения некорректной задачи к условно-корректной:

1. Способ регуляризации решения обратной задачи. Суть регуляризации сводиться к получению приближенного решения обратной задачи в рамках дельта-эквивалентности (или дельта-погрешности) на основе использования различной дополнительной информации. Как выглядит это:

Где второй интеграл это дополнительная информация, т.е, например, условия гладкости. Параметр α называется параметром регуляризации. Выделим два вида регуляризации: адаптационный принцип регуляризации и регуляризация по-Тихонову. Геофизики обычно эмпирическим путем приходили к тому, что грубые решения можно найти путем введения каких-то ограничений, например, каждый последующий слой в слоисто-горизонтальной модели больше предыдущего. Это как раз таки адаптационный принцип. Информативность метода связана с адаптационной регуляризацией. Если мы получаем в процессе регуляризации погрешность в 15-20%, если это относится к структурным построениям, то эта погрешность очень весомая, а если эта погрешность относится к сопротивлению, то ею можно пренебречь. Поэтому электроразведка дает информацию больше по изменению физических свойств, чем по структурным построениям.