Свойства функции arcctg (график функции центрально-симметричен относительно точки при любых

Получение функции arcctg

Дана функция  . На всей своей области определения она является кусочно-монотонной, и, значит, обратное соответствие   функцией не является. Поэтому рассмотрим отрезок, на котором она строго убывает и принимает все свои значения только один раз —  . На этом отрезке   строго убывает и принимает все свои значения только один раз, следовательно, на интервале   существует обратная функция  , график которой симметричен графику   на отрезке  относительно прямой   График симметричен к арктангенсу

8. Показательные функции, логарифмические, степенные их свойства, графики, производные Показательная функция

Показательная функция — математическая функция  , где   называется основанием степени, а   — показателем степени.

• В вещественном случае основание степени   — некоторое неотрицательное вещественное (действительное) число, а аргументом функции является вещественный показатель степени.

• В теории комплексных функций рассматривается более общий случай, когда аргументом и показателем степени может быть произвольное комплексное число.

• В самом общем виде —  , введена Лейбницем в 1695 г.

Особо выделяется случай, когда в качестве основания степени выступает число e. Такая функция называется экспонентой (вещественной или комплексной).

Определение показательной функции

Пусть   — неотрицательное вещественное число,   — рациональное число:  . Тогда   определяется по следующим правилам.

Свойства

График экспоненты

• 

• 

• 

• 

Производная: (е^х)' = е^х.

Логарифмическая функция

Функция вида   y = log_a х (где а > 0, а ≠ 1)   называется логарифмической.

1) Область определения логарифмической функции — множество всех положительных чисел. Это следует из определения логарифма, так как выражение log_ax имеет смысл только при x > 0.

2) Множество значений логарифмической функции — множество R всех действительных чисел. Это следует из того, что для любого действительного числа b есть такое положительное число x, что log_ax = b, т.е. уравнение log_ax = b имеет корень. Такой корень существует и равен x = a^b, так как log_aa^b = b.

3) Логарифмическая функция y = log_ax является возрастающей на промежутке x > 0, если a > 0, и убывающей, если 0 < a < 1.

4) Если a > 0, то функция y = log_ax принимает положительные значения при x > 1,отрицательные — при 0 < x < 1. Если 0 < a < 1, то функция y = log_ax принимает положительные значения при 0 < x < 1, отрицательные — при x > 1. Это следует из того, что функция y = log_ax принимает значение , равное нулю, при x = 1 и является возрастающей на промежутке x > 0, если a > 1, и убывающей, если 0 > a > 1.

Ниже представлены графики логарифмических функций при a > 0 (1);   0 > a >1 (2).

Стоит отметить, что график любой логарифмической функции y = log_ax проходит через точку (1 ; 0)

Свойства

Основное логарифмическое тождество

Из определения логарифма следует основное логарифмическое тождество^[7]:

Следствие: из равенства двух вещественных логарифмов следует равенство логарифмируемых выражений. В самом деле, если  , то  , откуда, согласно основному тождеству: 

Логарифмы единицы и числа, равного основанию

Два равенства, очевидных из определения логарифма:

Логарифм произведения, частного от деления, степени и корня

Приведём сводку формул в предположении, что все значения положительны^[8]:

	Формула	Пример
Произведение
Частное от деления
Степень
Корень

Замена основания логарифма

Логарифм   по основанию   можно преобразовать в логарифм по другому основанию  ^[5]:

Следствие (при   ) — перестановка основания и логарифмируемого выражения:

Производная:

Производная логарифмической функции y = log_a x определяется выражением

Для натурального логарифма y = ln x производная равна

Степенная функция

Степенна́я фу́нкция — функция  , где   (показатель степени) — некоторое вещественное число. К степенным часто относят и функцию вида  , где k — некоторый масштабный множитель. Существует также комплексное обобщение степенной функции. На практике показатель степени почти всегда является целым или рациональным числом.

Область определения

Если показатель степени — целое число, то можно рассматривать степенную функцию на всей числовой прямой (кроме, возможно, нуля). В общем случае степенная функция определена при  . Если  , то функция определена также и при  , иначе нуль является её особой точкой.

Рациональный показатель степени

Графики степенной функции при натуральном показателе n называются параболами порядка n. При   получается функция  , называемая прямой пропорциональной зависимостью.

Графики функций вида  , где n — натуральное число, называются гиперболами порядка n. При   получается функция  , называемая обратной пропорциональной зависимостью.

• Если  , то функция есть арифметический корень степени n.