3)Получить уравнение плоскости, проходящей через данную точку, перпендикулярно данному вектору.

Найдем уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору , называемому нормалью к плоскости. Для любой точки плоскости   вектор   ортогонален (перпендикулярен) вектору  , следовательно, их скалярное произведение равно нулю: или  .

Общее уравнение плоскости

После преобразования, уравнение

3)Получить общее уравнение плоскости. Частные случаи

О п р е д е л е н и е 2. Всякий вектор, перпендикулярный плоскости, называется нормальным вектором этой плоскости.

Если известна фиксированная точка M₀ (x₀, y₀, z₀), лежащая в данной плоскости, и вектор  , перпендикулярный данной плоскости, то уравнение плоскости, проходящей через точку M₀ (x₀, y₀, z₀), перпендикулярно вектору  , имеет вид

A(x-x₀)+ B(y-y₀) + C(z-z₀) =0.                                                           Покажем, что уравнение (3.22) является общим уравнением плоскости (3.21). Для этого раскроем скобки и соберем в скобки свободный член:

Ax + By+ Cz + (-Ax₀ - By -Cz₀) = 0

ОбозначивD =  -Ax₀ - By -Cz₀ , получим уравнение Ax + By + Cz + D = 0.

Задача 1. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку А, перпендикулярно вектору  , если A(4, -3, 1), B(1, 2, 3).

Решение. Найдем нормальный вектор плоскости  :

Для нахождения уравнения плоскости используем уравнение (3.22):

Частные случаи общего уравнения плоскости:

1. By + Cz + D = 0 - параллельна оси Ox;

2.     2) Ax + Cz + D = 0 - параллельна оси Oy;

   3) Ax + By + D = 0 - параллельна оси Oz;

4) Cz + D = 0 - параллельна оси Oxy;

    5) By + D = 0 - параллельна оси Oxz;

  6) Ax + D = 0 - параллельнаоси Oyz;

   7) Ax + By + Cz = 0 - проходит через начало координат;

   8) By + Cz = 0 - проходит через ось Ox;

   9) Ax + Cz = 0 - проходит через ось Oy;

 10) Ax + By = 0 - проходит через ось Oz;

  11) z = 0 - плоскость Oxy;

 12) y = 0 - плоскость Oxz;

 13) x = 0 - плоскость Oyz.

3)Уравнение плоскости, проходящей через 3 точки(получить).Примеры.

Через 3 точки можно провести плоскость,при том только одну (аксиома геометрии).

т.М1 (x1;y1;z1)

т.M2 (x2;y2;z2)

т.M3 (x3;y3;z3) Рассмотрим т.М (x;y;z)

M1M , M1M2 , M1M3 –компланарны,при любом положении т.M

т.к. вектора компланарны : M1M*M1M2*M1M3=0 (СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ)

M1M=(x-x1;y-y1;z-z1)

M1M2=(x2-x1;y2-y1;z2-z1)

M1M3=(x3-x1;y3-y1;z3-z1)

|x-x1 y-y1 z-z1 | |x2-x1 y2-y1 z2-z1| - Уравнение плоскости,проходящей через 3 заданные точки |x3-x1 y3-y1 z3-z1| Получить уравнение плоскости в отрезках на осях

Найдем уравнения плоскости, проходящей через т.А,В,С. |x-a y z| A(a;0;0) |-a b 0 | = (x-a)b*c+(-y)*(-ac)+z*ab=0

B(0;b;0) |-a 0 c|

C(0;0;c)

Xbc-abc+yac+zab=0

Xbc+yac+zab=abc

a не равно 0;b не равно 0;с не равно нулю.

x/a+y/b+z/c=1-уравнение плоскости в отрезках на осях